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数学归纳法知识总结

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发表于 2020-3-26 09:24:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

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数学归纳法
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<现在开始正题了哦,认真仔细看下面正文文章> ______________________________________________________________________________________________________________ 理科数学归纳法知识总结 一 基本概念 1.运用数学归纳法证明命题要分两步, 第一步是归纳奠基(或递推基础), 第二步是归纳递推(或归纳假设), 两步缺一不可 二 易错点  1.归纳起点易错  ( N' z" m% g5 w3 R
(1)n未必是从n=1开始n23n例 用数学归纳法证明:凸n边形的对角线条数为 2点拔:本题的归纳起点n=3
4 h$ g! I6 k% ]2 ?(2) n=1时的表达式 1an2(a1,nN),在验证n=1时,左边例 用数学归纳法证明1aaa1a2n计算所得的式子是( ) A. 1         B.1a      C.1aa     D. 1aaa 点拨  n=1时,左边的最高次数为1,即最后一项为a,左边是1a,故选B 2.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法 例1 用数学归纳法证明:错证:
% E0 S; b3 K: D- G& ](1)当n=1时,左=右=22411111 2n244433411,等式成立 4
' Z( j3 |2 ?/ m(2)假设当n=k时等式成立, 11[1()k1]111114则当n=k+1时,2k14 2144433414综合
% E; O2 `, p$ y$ o$ Z- O* x9 I7 T(1)
) o+ d7 T* I1 W$ Z$ D" h(2),等式对所有正整数都成立 点拨:错误原因在于只有数学归纳法的形式,没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中,没有运用归纳假设 3 从n=k到n=k+1增加项错误 例1 已知n是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k2且为偶数)时命题为真,,则还需证明( ) A.n=k+1时命题成立          B. n=k+2时命题成立  C. n=2k+2时命题成立        D. n=2(k+2)时命题成立 精品资料 , ~% D' o% g7 l
______________________________________________________________________________________________________________ 点拨:因n是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因k的下一个偶数是k+2,故选 例2 用数学归纳法证明不等式11113的过程中,由k推导到k+1n1n2nn24时,不等式左边增加的式子是            点拨:求f(k1)f(k)即可 当 n=k时,  左边n=k+1时,左边111, k1k2kk111, k2k3(k1)(k1)1111,即 (2k1)(2k2)2k12k2k1故左边增加的式子是三 知识应用 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等  1 用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明等式:1例2 用数学归纳法证明: 11111111 2342n12nn1n22n1111n 2n12n12n11335572 用数学归纳法证明不等式 例3用数学归纳法证明不等式12例4.证明不等式1123n(n1)(n1)2 21n2n (n∈N). 12133 用数学归纳法证明整除问题 例5 求证:n5n(nN)能被6 整除. 例6 证明:1(x3),(nN)能被x2整除 4 用“归纳——猜想——证明”解决数列问题  例7在数列{an}中,a1tanx,an1n31an, 1an
/ G& n( G5 H" ^9 y$ i& E(1)写出a1,a2,a3;+ a( X+ P2 o% q+ S5 f" @  \; }3 {3 S
(2)求数列{an}的通项公式 精品资料 # E- u# i8 Y) o3 A# x( m
______________________________________________________________________________________________________________ n1n例8  在数列an中,a12,an1an(2)2(nN),其中0,求数列{an}的通项公式 5用“归纳——猜想——证明”解决几何问题 例9.n个半圆的圆心在同一条直线l上,这n个半圆每两个都相交,且都在直线l的同侧,问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧。 四 练习巩固 n2(n-1)(n+1)1.用数学归纳法证明:1(n-1)+2(n-2)+…+n(n-n)=(n∈N*). 4222222.用数学归纳法证明:1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2)=3.当n>1,n∈N*时,求证:n(n+1)·( n+2)·(n+3)(n∈N*). 41119 n1n23n10n11114.用数学归纳法证明:1+1+++n+n(n∈N*) 223225.用数学归纳法证明  49+16n-1能被64整除(n∈N*) n+22n+126.用数学归纳法证明  m+(m+1)能被m+m+1整除(n∈N*) 7.在数列an中,an>0,且Sn=1/2(an+n1) an(1)求a1 E9 L+ U1 h0 K& @* T

* X3 H, o' }0 R2 N4 R1、a) }$ p9 b2 H% R2 s- n) A8 s# L

3 T2 D, x( o* y) q& [4 K2、a3; (2)猜测出an的关系式并用数学归纳法证明。2 ~2 U' |1 B4 S5 q$ o5 f4 q- @6 v
28.设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,…. (1)求a1,a2;(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出严格的证明. 9.平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这2n个圆把平面分成n-n+2个部分。  精品资料
8 K0 _7 `0 R  X7 p, {" m数学归纳法
( u( n4 a' p) v, d; p0 l# J1 g。                     《数学归纳法知识总结.电脑版点击下载文档可以下载此文章》- h9 `$ g6 B7 I) D- G! |( m
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