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§4.1数学期望(续)

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发表于 2020-3-28 22:54:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

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数学期望
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<现在开始正题了哦,认真仔细看下面正文文章> §4.1数学期望(续) 三、一维随机变量的函数的数学期望  定理
3 {8 C8 ~& U+ |1、设Y是随机变量X的函数:YgX(g是连续函数).
, R- D8 d6 e3 S(1)X是离散型随机变量,它的分布律为:P(Xx)piii1,2, 若级数gxp 绝对收敛,则有i1ii. E(Y)EgXgxpiii1( `: }; M0 I( U3 c- L) _
(2)X是连续型随机变量,它的概率密度为gxf(x)dx绝对收敛,则有  f(x). 若            EYE. gXgxf(x)dx例5 k, n, q- ~( I) L% b+ [
7、 设X的分布律为:     求EX,EX2,E2X1.  X P -1         0         2        3  1/8     1/4     3/8     1/4
9 u- R9 P' W, C. J( Y9 r2 G' J7 a/ x( v4 T
8、 设风速V~U(0,a),又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数:WkV2(k0,常数),求W的数学期望. 例4 m6 d6 |* Z* i  A- F
9、某公司计划开发一种新产品市场,并试图确定该产品的产量. 他们估计出售一件产品可获利m元,而积压一件产品导致n元的损失. 再者,他们预测销售量Y(件)服从指数分布,其概率密度为 fyY1ey/,y00,y0,0 问若要获得利润的数学期望最大,应生产多少产品(m,n,均为已知)。 例- P* \( ]2 V: _3 p# {5 m$ \2 x

4 N. E: k6 {; f5 {  K+ V10、某甲与其它三人参与一个项目的竞拍,价格以千美元计,价格高者获胜. 若甲中标,他就将此项目以10千美元转让给他人. 可认为其他三人的竞拍价是相互独立的,且都在7~11千美元之间均匀分布. 问甲应如何报价才能使获益的数学期望为最大(若甲中标必须将此项目以他自己的报价买下).    {8 S# ?1 u9 `$ r
四、二维随机变量的函数的数学期望 定理
2 t- {9 [" X# w9 o' J( E
$ F+ x  D2 ]3 [, Z+ \8 M2、设Z是随机变量(X,Y)的函数:ZgX,Y(g是连续函数).
9 z* ?% `& c" Q1 M8 B+ Y" z% X8 J  f! `/ b" R$ P
(1)(X,Y)是二维离散型随机变量,它的分布律为: P(Xx,Yy)p,i,j1,2. ijijx,yp绝对收敛,则有若级数gijiji1j1x,yp. E(Z)EgX,Ygiijji1j1
5 e0 }9 p( f( n% C" R$ G/ @" X8 P, r* W
(2)(X,Y)是二维连续型随机变量,它的概率密度为f(x,y). 若gx,yf(x,y)dxdy绝对收敛,则有 gx,yf(x,y)dxdy. E(Z)EgX,Y例2 p, N3 E0 b; c9 _7 I" K

' C3 p- B. x6 ^0 r1 i2 W( q11、设(X,Y)的分布列为:       Y  X 1           2              3
- _$ a  N2 e$ O3 B-1 0.2       0.1           0.0 0               0.1       0.0           0.3 1 0.1       0.1           0.1 求EX, EXY. 例
' W* D# _0 z* N$ o! ?4 f/ a( ~% y! A) F! t' Z! M6 m+ X
12、设(X,Y)的概率密度: 3,1yx,x1x322xyfx,y 20,其它1. 求EX,EXY五、数学期望的性质  5 A4 s! H/ c9 i! I& [: F. f' U" [

) S) ^+ ~/ s9 Z) D, h1、若C为常数,则E(C)C. 4 D$ M+ P, W' M4 q

0 F$ h# w( g  s. K. _" s2、若EX存在,C为常数,则E(CX)CE(X).
* w. h7 A' F% Y$ f% V7 ?1 ?  m+ q' I$ v8 l
3、若EX,EY存在,则E(XY)E(X)E(Y). 推广:若EXii1,2,,n存在,则nnEXEX. iii1i1
5 g9 C, M. e. Z' b3 u; G. u# E7 Z) |& Y( h) c# C* J  ]* o
4 k* V- P3 N6 O* V
4、若EX,EY存在,且X,Y独立,则E(XY)E(X)E(Y). 推广:若EXii1,2,,n存在,且nnX,X,,Xn相互独立,则EXEX. ii12i1i1例
% a& O( o" ~" h) o* G9 x  W/ M( E$ _9 x. q5 }8 y6 a) V0 M/ d. k6 y! ~
14、有两个相互独立工作的电子装备,它们的寿命Xk1,2服从同一指数分布,其概率密k度为: x1e,x0,0. fx0,x0若将这2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命(以小时计)N的数学期望. 例15 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车,以X表示停车的次数,求EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).
& \; ]% `8 i8 J3 H本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望,这种方法具有普遍意义. 例" @1 H3 H& L4 F0 e/ v, \
' _2 j% X7 q9 ~* H. q3 T$ E  }2 ?; O
16、设一电路中电流I(A)与电阻R(Ω)是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 gi2i,0i10,其它,r2,0r3 hr90,其它试求电压V=IR的均值. . a5 o# G& ?" Z
数学期望
# S# X* ?0 M0 e( w, _。                     《§4.1数学期望(续).电脑版点击下载文档可以下载此文章》6 N) ~5 M, V6 B* ^  W2 h( l. ~6 W8 Q

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