立即注册 找回密码

168资源分享社区

查看: 9736|回复: 0

2016考研数学(一、二、三)真题及答案解析

  [复制链接]
发表于 2020-3-29 17:28:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?立即注册

x
考研数学一二三区别
124801i6xotsa242818rme.jpg
<现在开始正题了哦,认真仔细看下面正文文章>                            Born To Win 2016考研数学(一)真题及答案解析     考研复习最重要的就是真题,所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析,希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺,快速有效的备考。 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ...9 c) y" |$ @: L8 \0 Q7 X- Y
$ `5 A5 \" o, Q$ T  b) x1 v5 m
(1)设xn是数列下列命题中不正确的是(  ) (A)若limxna,则limx2nlimx2n1a nnn(B)若limx2nlimx2n1a,则limxna nnn(C)若limxna,则limx3nlimx2n1a nnn(D)若limx3nlimx3n1a,则limxna nnn  c' l# z$ T  A7 N8 J1 W0 J4 T7 B
【答案】(D)
* e! b- R/ v8 j5 F# x
! \, ~; A, e! J9 z6 U5 o(2)设y特解,则 (A)a3,b2,c1 (B)a3,b2,c1 (C)a3,b2,c1 (D)a3,b2,c1
1 ?: R6 g' `6 t; v【答案】(A) ( ^" L4 a7 I+ J% v7 _) O2 n
【解析】将特解代入微分方程,利用待定系数法,得出a3,b2,c1。# S9 D/ T3 n! p
故选A。" g! |  P1 L1 r! s$ P9 M
2 k# ~1 k8 S3 ?! ]# X, Q
/ e4 F% E, r4 _( T- ]! U* G
(3)若级数(   ) (A)收敛点,收敛点 (B)收敛点,发散点 (C)发散点,收敛点 (D)发散点,发散点
( y$ R, o6 A( [4 M) @/ C【答案】(A) $ {/ h5 D( h% g" H
【解析】因为级数12x1e(x)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程yaybycex的一个23axnn1n在x2处条件收敛,则x3与x3依次为幂级数na(x1)nn1n的axnn1n在x2处条件收敛,所以R2,有幂级数的性质,na(x1)nn1n的收敛半径也为R2,即x13,收敛区间为1x3,则收敛域为- [6 f6 H5 u/ N8 S7 n9 f
                           Born To Win 1x3,进而x3与x3依次为幂级数nan(x1)n的收敛点,收敛点,故选A。 n1' Y" v9 _+ L9 m

, `& _0 Y6 h4 M  u$ b# L; A(4)下列级数发散的是(   )   (A)n n8n1(B)n111ln(1) nn(1)n1(C) lnnn2(D)n。1 F4 Y' R( c% k, G7 d9 W
nn1n' v7 b# i, J! P* o
【答案】(C)
' Z8 a2 C" a6 P& [% }; a【解析】(A)Snu1u2...un12n2...n, 888112n7111n817nSn()23...n1Sn2...nn1Sn(1()n)n,88888888849888limSn存在,则收敛。 n491111ln(1)33收敛,所以(B)收敛。 (B)unnnn12n2n(1)n1(1)n1(1)n1(C),因为分别是收敛和发散,所以,lnnn2lnnn2lnnn2n2lnnn2lnn(1)n1发散,故选(C)。 lnnn2n。un(D)unn,limn1lime11,所以收敛。 nn1nnunn1111
' s) j2 p7 m- }: C; y; z) r, S; o% p/ ]/ o, q
(5)设矩阵A12a,b,若集合1,2,则线性方程组Axb有无穷2214a多解的充分必要条件为(   ) (A)a, (B)a, (C)a, (D)a, % R% _, S; ~0 P6 s5 N& v1 t/ v: F
【答案】(D)
/ s5 G% h; ^) l8 ~0 e3 v【解析】Axb有无穷多解rArA3,A0,即(a2)(a1)0,从而+ o* Q) d5 P1 i8 `0 n* j
                           Born To Win a1或a2 111111当a1时,A12111141010  12000232从而232=0=1或=2时Axb有无穷多解 11111111当a2时,A12201111442 000232从而232=0=1或=2时Axb有无穷多解 所以选D.   m) e1 ~# ^, }: r3 P/ f
2 N5 Z& P  m5 c; r" J- Q, N' E
(6)二次型f(xx2221,x2,3)在正交变换xPy下的标准形为2y1y2y3,其中P(e1,e2,e3),若Q(e,1e,3)e2,f(x1,x2,x3)在正交变换xQy下的标准型为((A)2y22y21y23 (B)2y2221y2y3 (C)2y2y2212y3 (D)2y2221y2y3
0 U: m( p1 e+ C7 t【答案】(A)
! a: n  B( B8 P7 H4 a* u9 {【解析】由已知得f(xTAPY2y2y221,x2,x3)YTP12y3,QPE23E2(1), 从而 f(x)YTQTAQYYTETT1,x2,x32(1)E23PTAPE23E2(1)YYTEE221002(1)23PTAPE23E2(1)Y2y21y2y3,其中E12300,010100E1)0102(均为初等矩阵,所以选A。 010
! q  V& E9 C/ U5 P0 S! p. N- t" t/ h/ q/ W4 e1 N3 {
(7)若A,B为任意两个随机事件,则 (A)P(AB)P(A)P(B) (B)P(AB)P(A)P(B) (C)P(AB)P(A)P(B)2 (D)P(AB)P(A)P(B)2 3 @  \# K+ W2 X: E) l* L  J
【答案】(C) )   
# @0 a8 b! {' B                           Born To Win 2 G( R8 [  B! A% U
【解析】排除法。
2 n7 a! w5 Z# X$ F" r' ~若AB,则P(AB)0,而P(A),P(B)未必为0,故P(A)P(B)P(AB),P(A)P(B)P(AB),故B,D错。 2若AB,则P(AB)P(A)P(A)P(B),故A错。
% n$ S( b* m% t; J, l3 p $ s) L8 P3 x# m0 X
/ H1 a& h+ p3 x# C7 Y6 k+ Y
(8)设总体XB(m,),X1,X2,X3为来自该总的简单随机样本,X为样本均值,则nE(XiX)2 i1(A)(m1)n(1) (B)m(n1)(1) (C)(m1)(n1)(1) (D)mn(1) : C5 O% ^# H& Q
【答案】(B) - ]8 `# g4 V$ N1 W4 {2 J
【解析】 21nEXXES2DXm(1)in1i1 n2EXiXm(n1)(1)i1二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上). ...ln(cosx)_____. 2x0x1+ w( @6 X( |. D, W% V* @$ _9 C
【答案】 2
7 `4 r& U6 e* v' H6 |  l  ?1 ]5 Q1 a) k
(9)limsinxlncosxcosx1limsinx1  + p( B& Q7 D5 r; w6 j$ u  v5 M
【解析】limlimx0x0x22x2x0xcosx2sinx (10) 2xdx_______. 21cosx29 Z( T) J7 l& H
【答案】 4/ g( F! {6 x8 O, x# t! V
【解析】sinxsinx2sinx2222 xdxdxxdxdx2xdx201cosx1cosx1cosx42222z (11) 若函数zz(x,y)有方程exyzxcosx2确定,则dz(0,1)_______. 3 v" }6 t; U! u2 A, L* B) m
【答案】dx
( m) w: I& I; e- d- D【解析】对exyzxcosx2两边分别关于x,y,z求偏导,并将(0,1)这个代入,得到z+ P! J/ \9 R: O* M
                    (0,1)1,       Born To Win zxzy(0,1)0,所以dz(0,1)dx。; z6 g) E# N* ^5 \9 ?" R8 W

4 D( z3 R( p5 {" U0 ~2 T0 {8 D. P! j: e0 P& E: n
(12)设 是由 xyz1 与三个坐标平面所围成的空间区域,则 x2y3zdxdydz  * d- ]- o1 n' o% z
【答案】 14 10 a& O5 Y9 ?) Q/ S1 h/ H
【解析】由对称性, x2y3zdxdydz6zdxdydz6zdzdxdy, 0DZ其中 DZ 为平面 zz 截空间区域 所得的截面 其面积为  所以:111232 x2y3zdxdydz6zdxdydz6z(1z)dz3z2zzdz002411(1z2)2 20022_______ 22120(13) n阶行列式002001
) x4 q1 I/ _3 S, k; s, ?【答案】2n12 ) z; y, O" p2 [, _9 E, Y' B6 m( q# i
【解析】按第一行展开得
# l( F, C4 K" v4 x9 t                           Born To Win 2Dn0000002222120122Dn1(1)n12(1)n12Dn122(2Dn22)222Dn22222n2n122n12
! ~5 r8 O8 c& P/ l; W) t9 A* a4 F! t5 m6 ^
(14)设二维随机变量X,Y服从正态分布N(1,0;1,1;0),则PXYY0
) E& B9 g9 x9 F0 y4 A8 E% I【答案】 . 1. 2PXYY0PX1Y0PX10,Y0PX10,Y03 }1 H7 u8 z1 }0 P2 i
【解析】由XY0,故X,Y独立。
7 q/ p8 O/ V/ K. nPX10PY0PX10PY0. 11111.22222三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、...证明过程或演算步骤.
  B$ ]4 H, N' M, b1 b# h1 N8 N7 V) _, P: `) O$ e+ @
(15)设函数f(x)xaln(1x)bxsinx,g(x)kx3,若f(x)与g(x)在x0时为等价无穷小,求a,b,k的值。 2 ^2 D) x+ N% H& ^
【解析】由题意, f(x)1x0g(x)xaln(1x)bxsinxlim13x0kxxa(xx2/2x3/3o(x3))bx(xx3/6o(x3))limk 3x0x(a1)x(ba/2)x2ax3/3bx4/6o(x3)o(x4)limkx0x3a1,b1/2,k1/3lim$ M9 j8 R. u2 B

( K3 Q$ Y; @% k) t7 C: \/ G7 v1 K2 }; F5 w6 x9 o
(16)计算二重积分
" h6 Y0 o5 D0 k6 M3 h【解析】 D                   x(xy)dxdy,其中D(x,y)x       Born To Win 2y22,yx2。 Ix(xy)dxdyx2dxdyxydxdy2x2dxdy, DDDD1其中D1(x,y)xy2,yx,x0, 则I222x(xy)dxdy2xdxdy2dx2DD10x212x2x2dy2。 45/ X7 {% x$ W/ m/ S, y' d
% C& a/ b& G! p
(17)已知函数f(x,y)xyxy,曲线C:x2y2xy3, 求f(x,y) 在曲线C 上的最大方向导数 ' z5 Z# w0 }; O# T
【解析】因为f(x,y)沿着梯度的方向的方向导数最大,且最大值为梯度的模 f'x(x,y)1y,f'y(x,y)1x, gradf(x,y)1y,1x, 模为(1y)2(1x)2, 此题目转化为对函数 g(x,y)(1y)2(1x)2 在约束条件 C:x2y2xy3, 下的最大值,即为条件极值问题。本问题可以转化为对 d(x,y)(1y)2(1x)2 在约束条件  C:x2y2xy3, 下的最大值,构造函数 f(x,y,)(1y)2(1x)2(x2y2xy3) F'x2(1x)(2xy)0F'y2(1y)(2yx)0 22F'xyxy30M1(1,1),M2(1,1),M3(2,1),M4(1,2), d(M1)8,d(M2)0,d(M3)9,d(M4)9, 93. 故最大值为3.
! j+ D5 P* _" {& ]
9 O5 W: j: A/ F(18)设函数f(x)在定义域I上的导数大于0,若对任意的x0I,曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线xx0及x轴所围成区域的面积恒为4,且f(0)2,求f(x)的表达式。   R% Q: o  |  r5 p
【解析】yf(x0)f'(x0)(xx0)
! s* j( D8 Q1 }* [- B! m                           Born To Win yf'(x0)(xx0)f(x0) x0f(x0)f'(x0)x0f'(x0)(xx0)f(x0)dx4 dy dx2解得:3y分离变量可得:13xc y因为 y(0)2 所以 c1 2  综上 f(x)2 16xz2x2y
% v7 a) r9 Q; l9 s+ u$ F5 J# j
# W& x# E: {; N( X8 Z6 X7 z) C219、已知曲线L的方程为,起点为A(0,2,0),终点为B(0,2,0),计zx算曲线积分I(yz)dx(zL2x2y)dy(x2y2)dz xcos0 Z/ c' ?+ Q7 [0 k: j$ Y6 N" i
【解析】由题意假设参数方程y2sin,: 22zcos22(2sincos)sin2sincos1sin2sind2222sincossin1sinsind2 2222sind02237 ^6 Q  z+ c! B

+ l; Q4 N- T3 E+ k. }; ~" x(20)向量组a1,a2,a3 是R 的一个基,b1=2a1+2ka3,b2=2a2,b3=a1+k+1a3,  (Ⅰ)证明b1,b2,b3为R 的一个基; (Ⅱ)当k为何值时,存在非零向量e 在基a1,a2,a3与基b1,b2,b3下的坐标相同,并求所有的e. 0 Q  H( I# W9 v6 Y) Q' q* M
【解析】(Ⅰ)证明: 3()
  U; T2 I2 w+ o- T                           Born To Win 0210 0k121,2,3212k3,22,1k13 =1,2,302k                  a1,a2,a3是R3 的一个基 a1,a2,a3线性无关,即r(a1,a2,a3)=3 2r1,2,3r02k2又02k120 0k100120=4?0 0k+1120=3 0k102r1,2,3r02kb1,b2,b3线性无关,为R3 的一个基 (Ⅱ)由已知设e=k1a1+k2a2+k3a3=k1b1+k2b2+k3b3,e?0 即k1(b1-a1)+k2(b2-a2)+k3(b3-a3)=k1(a1+2ka3)+k2a2+k3(a1+ka3)=0 k1有非零解,即12k3,2,1k3k20有非零解 k31所以a1+2ka3,a2,a1+ka3=a1,a2,a300110=0 0k2k101010=0k0 2k0k从而k1a1+k2a2+k3a1=0
2 e5 c( Y( Z6 R6 X( z3 I6 E                           Born To Win k2=0,k1=-k3 k11k130,k10 023120. q) Z) g6 m! _: g, L

* r, w! V! i" b) O# Y* q(21)设矩阵A133相似于矩阵B0b0。 12a031
; K9 q+ q% i/ K# x1 O6 p" l. o+ [0 |, _) y
(1)求a,b的值。 6 n% y% R2 q2 I& g- p; [
" p6 p+ u$ T$ t' L* |
(2)求可逆矩阵P,使PAP为对角矩阵。 0 I% _- G7 j. J/ `; z# _# t, p, P
【解析】
% D( I! ~$ ^! e: H9 Q! X) J9 K6 e) x3 O9 N$ D% m5 _7 M/ _- E- \& a" b
(1) 11BE0012b32200133a (1)2(b)0121,3bAE13由(1)[2(a2)2a3]A~BA,B特征值相同2(a2)2a3(1)[(2a3)],得a4,35,故b5023
. T, K7 P  ^% n* o, C
9 E6 P4 i% L* x& {(2)由: D; c8 A+ w# S, |" z5 c4 ^
( u1 Y. s' {# X8 m
(1)得A133,其中特征值121,35, 12423当121时,解(AE)x0方程的基础解系为11,20; 011当35时,解(A5E)x0方程的基础解系为31, 111从而(A1,A2,A3)(1,2,53)A(1,2,3)(1,2,3), 5
+ d  _2 n: d: {1 G  s. H3 }. z                           Born To Win 231因为1,2,3线性无关,所以令P1,2,3可逆,即P101,使得0111P1Ap1。 52xln2x0
  _- `% f6 ?2 q1 q  o+ p" M; r: s  K3 H4 ~9 E; m, o" o( ?* g
(22)设随机变量X的概率密度为f(x),对X进行独立重复的观测,x00直到第2个大于3的观测值出现为止,记Y的观测次数。 , P7 n$ [- ]/ u. O9 ]  X
0 {  n, _3 a$ Y0 ]
(1)求Y的概率分布。
$ c5 O- ~& I! R/ B- p
2 F% h8 S0 L8 V8 ?/ u(2)求EY。 . }! V. X. d+ o1 E' _4 Y2 `
【解析】 2xln2,x01 K7 m4 o8 c8 H0 y
, x+ T: X5 [' g0 [+ M: I
(1)f(x), 0,x0pPX32xln2dx318 n2117所以Y的概率分布为PYnCn18817(n1)882n2,n2,3 17EYn(n1)1 X' P! @' _" x4 z8 M9 f: ^# _

& r( L6 w% Z8 Z- y. K(2)88n2令 2n217n(n1)64n28 S(x)n(n1)xn2n2,S1(x)nxn2n2,S2(x)x0x2S1(t)dtx1x n2n221x2x(2x)x22xx2S(x)S1(x)S1(x)32, 1x1x1xEY17S16 6481
' v7 i$ h3 s7 c' {6 G( a9 I% c) j" m4 g8 F# {+ z& t" P( c6 Q
(23)设总体X的概率密度为f(x;)10x1其他,其中为未知参数,X1,X2,...,Xn为随机样本。   b0 ~$ C' G7 O$ l: k- H1 H
! j; i+ W  e" N; y7 b2 C! |5 }9 I5 I
0 b) `* g& D5 \( g
(1) 求的矩阵估计量; 7 @0 x5 e( k) j$ v8 |, T+ R# l/ u

7 [  B. l- M  Z2 l3 s(2)求的最大似然估计量。& T" z& ^0 |6 W9 Y! }: f1 K! a1 m& H; d
5 T# G) n! a7 s. C, `& h
【解析】
2 Y5 X0 e9 _/ I/ o0 T: R  h$ H7 c$ n" A
(1)                          Born To Win EX11x2xf(x;)dxxdx011211012X1。 2EX126 }/ I! m6 b' q" }5 N
9 R+ o3 @% \- ~
(2)设X1,X2,...,Xn为观测值,则1n1L()f(xi;)i11(1)ni10nxi1,i1,2,...,n其他 lnL()nln(1),xi1,i1,2,...,n,dlnL()1nn0,取d11min{X}。; L# V! C- u7 W! w2 y8 s4 d* I
i                            ; c7 @" e; U( e5 r
                           Born To Win 2016年考研数学二真题与解析 一、选择题  1—8小题.每小题4分,共32分. 11.当x0时,若ln(12x),(1cosx)均是比x高阶的无穷小,则的可能取值范是(  ) (A)(2,)      (B)(1,2)    (C)(,1)     (D)(0,) 11212
# ~+ e6 {3 p: E+ I【详解】ln(12x)~2x,是阶无穷小,(1cosx)~112x是22阶无穷小,由1题意可知2 1所以的可能取值范围是(1,2),应该选(B). 2.下列曲线有渐近线的是 (A)yxsinx    (B)yx2sinx(C)yxsin   (D)yxsin1x21 x
- P, \! o2 ~2 y  c6 {5 f【详解】对于yxsin,可知limx1xy11且lim(yx)limsin0,所以有斜渐xxxx近线yx 应该选(C) 3.设函数f(x)具有二阶导数,g(x)f(0)(1x)f(1)x,则在[0,1]上(  ) (A)当f'(x)0时,f(x)g(x)  (B)当f'(x)0时,f(x)g(x) (C)当f(x)0时,f(x)g(x)  (D)当f(x)0时,f(x)g(x)
+ R% {4 W! ^. I) m* S% R+ x【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法. 7 y4 ~, y, c& P3 b8 Q" x
【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断. 显然g(x)f(0)(1x)f(1)x就是联接(0,f(0)),(1,f(1))两点的直线方程.故当f(x)0时,曲线是凹的,也就是f(x)g(x),应该选(D)   C: @* f- E: ?. O
                           Born To Win
, L) ~  e( G% }  w【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话,可令F(x)f(x)g(x)f(x)f(0)(1x)f(1)x,则F(0)F(1)0,且F"(x)f"(x),故当f(x)0时,曲线是凹的,从而F(x)F(0)F(1)0,即F(x)f(x)g(x)0,也就是f(x)g(x),应该选(D) xt27,4.曲线 上对应于t1的点处的曲率半径是(    ) 2yt4t1(A)1010(B)  (C)1010 (D)510 50100y"(1y'2)32% ?! x! L- ]! e5 v5 n  s
【详解】 曲线在点(x,f(x))处的曲率公式K,曲率半径R1. K22dxdydy2t42dy1t2t,2t4,所以1,2本题中3, dtdtdx2tt2tdxt对应于t1的点处y'3,y"1,所以Ky"(1y')2311010,曲率半径R11010. K应该选(C) 5.设函数f(x)arctanx,若f(x)xf'(),则limx02x2(    ) (A)1   (B)121    (C)    (D)  3321133x0时,arctanxxxo(x). ,
1 v" t  G, I( X! G4 B4 w" ~2 S
- m4 n+ k6 T+ p3 Y/ w(2)231x; a- U+ U: q. b  }* G
【详解】注意8 p3 ?& {; F3 y7 Q7 {0 Q: }

) j2 t% j1 P' i) x(1)f'(x)由于f(x)xf'().所以可知f'()1f(x)arctanxxarctanx2,, 22xx1(arctanx)13x)o(x3)13. 3x3limx02x2limx0xarxtanxlim2x0x(arctanx)x(x
7 e$ j9 Q7 F9 d3 b% f) a                           Born To Win 6.设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续,在D的内部具有二阶连续偏导数,且满足2u2u2u0及220,则(      ). xyxy    (A)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上;  (B)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部; (C)u(x,y)的最大值点在区域D的内部,最小值点在区域D的边界上; (D)u(x,y)的最小值点在区域D的内部,最大值点在区域D的边界上.   \6 O3 g/ `: ]# u  u( u
【详解】u(x,y) 在平面有界闭区域D上连续,所以u(x,y)在D内必然有最大值和最小值.并且如果在内部存在驻点(x0,y0),也就是uu0,在这个点处xy2u2u2u2u2,由条件,显然ACB0,显然u(x,y)不是A2,C2,Bxyyxxy极值点,当然也不是最值点,所以u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上. 所以应该选(A). 7.行列式0aa0b00b0cd0c00d等于 adbc  (D)adbc (A)(adbc)2      (B)(adbc)2  (C)& Q4 y% q7 E  m0 {8 b
【详解】 222222220a0cab0a0ba0b00bababa0d0b0c0adbc(adbc)2 cd0cdcdc0dc0d00d应该选(B). 8.设1,2,3 是三维向量,则对任意的常数k,l,向量1k3,2l3线性无关是向量1,2,3线性无关的 (A)必要而非充分条件             (B)充分而非必要条件 ; v" e- u5 d% ]# z( Q2 _+ Q9 p
                           Born To Win (C)充分必要条件                 (D) 非充分非必要条件
) O+ [! A% g4 |' Z8 d, A. }【详解】若向量1,2,3线性无关,则 10(1k3,2l3)(1,2,3)01(1,2,3)K,对任意的常数k,l,矩kl阵K的秩都等于2,所以向量1k3,2l3一定线性无关. 100而当10,21,30时,对任意的常数k,l,向量1k3,2l3线性000无关,但1,2,3线性相关;故选择(A). 二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.
: W6 `" u0 l2 F5 l  X2 \& t【111dx        . 2x2x5详解】11dx1x11dxarctan|x22x5(x1)242213. ()242810.设f(x)为周期为4的可导奇函数,且f'(x)2(x1),x0,2,则f(7)                . 0 r* @+ I. J2 a7 m0 \
【详解】当x0,2时,f(x)2(x1)dxx22xC,由f(0)0可知C0,2即f(x)x2x;f(x)为周期为4奇函数,故f(7)f(1)f(1)1. 11.设zz(x,y)是由方程e2yzxy2z7确定的函数,则4dz|11             . ,22' B; W' o- A/ i% N, a4 A' m, |
【详解】设F(x,y,z)e2yz7xy2z,Fx1,Fy2ze2yz2y,Fz2ye2yz1,4
8 r# O4 B% o! V                           Born To Win FyFx1z1z1当xy时,z0,,,所以2xFz2yFz211dz|11dxdy. ,222212.曲线L的极坐标方程为r,则L在点(r,)为              . % C2 G. w7 G7 r# d9 v6 j
【详解】先把曲线方程化为参数方程,处的切线方程22xr()coscos,于是在处,2yr()sinsinx0,y2,dysincos2||,则L在点(r,),处的切线方程dx2cossin2222x为y22(x0),即y2. 13.一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上,若其线密度(x)x22x1,则该细棒的质心坐标x      . 11x(x)dx(x2xx)dx1102 P; e+ ?! E, ?4 E: B& r( U
【详解】质心坐标x1. 0112250(x)dx0(x2x1)dx32011322214.设二次型f(x1,x2,x3)x1x22ax1x34x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围是              . & S2 C( B: o$ G; J7 w7 j
【详解】由配方法可知 2f(x1,x2,x3)x12x22ax1x34x2x3(x1ax3)(x22x3)(4a)x222223 由于负惯性指数为1,故必须要求4a0,所以a的取值范围是2,2. 三、解答题 15.(本题满分10分) , [) _5 {. R9 A4 r" d0 j
                    x1       Born To Win 求极限limx(t(e1)t)dt1x2ln(1)x. 21t
6 N6 N. p  d  [. m7 K4 K【分析】.先用等价无穷小代换简化分母,然后利用洛必达法则求未定型极限. . v3 K! _) Y! j! v- y
【详解】 x1x2ln(1)x1111limx2(o()x22xx2xx2xlimx1(t(e1)t)dt21tlimx1(t(e1)t)dtx21tlim(x(e1)x)x21x 16.(本题满分10分) 已知函数yy(x)满足微分方程x2y2y'1y',且y(2)0,求y(x)的极大值和极小值.
% M0 y/ ?1 A$ H. O/ k- n【详解】 解:把方程化为标准形式得到(1y)2dy1x2,这是一个可分离变量的一阶微分方程,dx两边分别积分可得方程通解为:1312yyxx3C,由y(2)0得C, 333即1312yyxx3. 333dy1x2d2y2x(1y2)22y(1x2)2 令; 0,得x1,且可知223dx1y2dx(1y)当x1时,可解得y1,y"10,函数取得极大值y1; 当x1时,可解得y0,y"20,函数取得极小值y0. 17.(本题满分10分) xsin(x2y2)dxdy 设平面区域D(x,y)|1xy4,x0.y0.计算xyD225 I/ B% v# n8 ]
【详解】由对称性可得 ' w( }. f, f% p6 z2 o' [
                           Born To Win xsin(x2y2)ysin(x2y2)x2y2)1(xy)sin(dxddxddxdyxyxy2DxyDD2x2y2)1sin(123dxddrsinrdr12D1204 18.(本题满分10分) 2z2z设函数f(u)具有二阶连续导数,若zf(ecosy)满足22(4zexcosy)e2x.xyxf(0)0,f'(0)0,求f(u)的表达式.
: F# h" y7 r$ r【详解】 设uexcosy,则zf(u)f(excosy), zf'(u)excosy,x2zf"(u)e2xcos2yf'(u)excosy; 2xz2zx2x2xf'(u)esiny,f"(u)esinyf'(u)ecosy; 2yy2z2z2f"(u)e2xf"(excosy)e2x 2xy2z2zx2x由条件22(4zecosy)e, xy可知 f"(u)4f(u)u 这是一个二阶常用系数线性非齐次方程. 对应齐次方程的通解为: f(u)C1e2uC2e2u其中C1,C2为任意常数. 对应非齐次方程特解可求得为y*1u. 4故非齐次方程通解为f(u)C1e2u1C2e2uu. 411,C2. 1616将初始条件f(0)0,f'(0)0代入,可得C1
8 J# R! ?! b3 M                           Born To Win 111所以f(u)的表达式为f(u)216eu16e2u4u. 19.(本题满分10分) 设函数f(x),g(x)在区间a.b上连续,且f(x)单调增加,0g(x)1,证明: % n+ n  s8 \+ n$ S" k) O

1 u' |; m, p4 r- P$ R(1) 0xag(t)dtxa,xa,b; b+ r+ Z  ]+ i6 z& r/ m# K+ m
+ M5 I% C8 M% u; l; T
(2) aag(t)dtf(x)dxbaaf(x)g(x)dx. % H$ y; f6 Y" h3 q3 i/ z# w) F
【详解】
5 u' V4 y# |+ P. ?3 L7 o
) `  x4 l5 f7 d2 i: q# ^(1)证明:因为0g(x)1,所以xxa0dxg(t)dtxaa1dtxa,b. 即0xag(t)dtxa,xa,b. x
; ^9 `7 \# C- I1 _7 I7 S* ^7 Q* k: E1 L  `  x
(2)令F(x)xaf(u)g(u)duaag(t)dtaf(u)du, 则可知F(a)0,且F'(x)f(x)g(x)g(x)faxag(t)dt, 因为0xag(t)dtxa,且f(x)单调增加, 所以faxag(t)dtf(axa)f(x).从而 F'(x)f(x)g(x)g(x)fxaag(t)dtf(x)g(x)g(x)f(x)0xa,b 也是F(x)在a,b单调增加,则F(b)F(a)0,即得到 abag(t)dtaf(x)dxbaf(x)g(x)dx. 20.(本题满分11分) 设函数f(x)x1x,x0,1,定义函数列 f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x)),,fn(x)f(fn1(x)), 设Sn是曲线yfn(x),直线x1,y0所围图形的面积.求极限limnnSn.
% I% K0 E. P( S1 |9 A2 O( b【详解】 ,   6 q7 _# |4 `1 K# P6 u' X( D
                           Born To Win xf1(x)xxx,, ,f3(x)f1(x),f2(x)1xx13x1x1f1(x)12x11x利用数学归纳法可得fn(x)x. 1nxSnfn(x)dx01x1111ln(1n)dx(1)dx(1), 01nxn01nxnn11n)ln(limnSnlim11. nnn21.(本题满分11分) 已知函数f(x,y)满足f2(y1),且f(y,y)(y1)2(2y)lny,求曲线yf(x,y)0所成的图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积. ' J/ ^7 @% a0 y# B. q) Y
【详解】 由于函数f(x,y)满足的连续函数. 2又因为f(y,y)(y1)(2y)lny,从而可知C(y)1(2y)lny, f2所以f(x,y)y2yC(x),其中C(x)为待定2(y1),y得到f(x,y)y2yC(x)y2y1(2x)lnx. 2令f(x,y)0,可得(y1)(2x)lnx.且当y1时,x11,x22. 22曲线f(x,y)0所成的图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积为 225V(y1)2dx(2x)lnxdx(2ln2) 11422.(本题满分11分) 1234设A0111,E为三阶单位矩阵. 1203+ H+ k- b8 M7 P2 g

# l9 R6 [. m- m7 V* \& q' A% B(1) 求方程组AX0的一个基础解系;
$ S7 N5 L+ I7 O3 A* C, H$ o& \4 T
(2) 求满足ABE的所有矩阵.
" J0 {. Q+ f5 ]/ Q/ M3 P1 O' x                           Born To Win
: p8 v- Z2 l" e3 Z【详解】
' Q  ?) W: U( e4 m
" h2 |, F+ b6 h  c(1)对系数矩阵A进行初等行变换如下: 1234123412341001A01110111011101021203130431000013, 得到方程组AX0同解方程组 x1x4x22x4 x3x4312得到AX0的一个基础解系1. 31x1x2
  O% y6 P$ R/ M+ J3 L6 E
7 f" x2 l# H7 T, z: Y5 O8 ?5 _' D(2)显然B矩阵是一个43矩阵,设Bx3x4对矩阵(AE)进行进行初等行变换如下: y1y2y3y4z1z2 z3z4123410012(AE)011101001120300104001001234101110100100013141001由方程组可得矩阵B对应的三列分别为 313411000101011126121313141 x121y161z111x212y232z212ccc,,x113y423z133, 3331y01z01x0444即满足ABE的所有矩阵为 2c112c1B13c1c16c232c243c2c21c312c3 13c3c3
# L0 z( u, F: p. p9 g 其中c1,c2,c3为任意常数. 23.(本题满分11分)                           Born To Win 11证明n阶矩阵11100111002与相似. 1100n1111,B11001002. 00n11
3 n. \$ M. Z+ q# P' G# y  _: }【详解】证明:设A 1分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下: 11EA11111(n)n1, 11所以A的n个特征值为1n,23n0; 而且A是实对称矩阵,所以一定可以对角化.且A~0; 00102EB(n)n1 00n所以B的n个特征值也为1n,23n0; 对于n1重特征值0,由于矩阵(0EB)B的秩显然为1,所以矩阵B对应n1重特征值0的特征向量应该有n1个线性无关,进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量,即矩阵B一定可以对角化,且B~0 00 W1 W' M/ i. b
                           Born To Win 11从而可知n阶矩阵1                                      1100111002与相似. 1100n
% t4 U7 A2 _) u3 N. S                           Born To Win 2016年考研数学
1 b# W1 |1 S- s(三)真题 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) (1) 若limxx0sinx(cosxb)5,则a =______,b =______. ea(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定,其中函数g(y)可微,且g(y)  0,则2fuv. 11x2xe,x22,则12f(x1)dx(3) 设f(x)211,x2. (4) 二次型f(x1,x2,x3)(x1x2)2(x2x3)2(x3x1)2的秩    . (5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{XDX}_______. (6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ2),X1,X2,Xn1和 Y1,Y2,Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则 22n2n1(XiX)(YjY)i1j1              En1n22. 二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7) 函数f(x)|x|sin(x2)在下列哪个区间内有界. 2x(x1)(x2)(B) (0 , 1).  (C) (1 , 2).  (D) (2 , 3).       [    ] (A) (1 , 0).  1f(),x0(8) 设f (x)在( , +)内有定义,且limf(x)a, g(x)x,则 x0,x0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.  (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点. (C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关.           [    ]  (9) 设f (x) = |x(1  x)|,则 (A) x = 0是f (x)的极值点,但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点,但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点,且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (D) x = 0不是f (x)的极值点,(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点.   [    ] 4 x4 c" D) u  k) c& y
(10) 设有下列命题:  (1) 若                          Born To Win n1(u2n1u2n)收敛,则un收敛. n1 (2) 若n1un收敛,则un1000收敛. n1 un1(3) 若lim1,则un发散. nunn1 (4) 若n1(unvn)收敛,则un,vn都收敛. n1n1则以上命题中正确的是 (A) (1) (2).  (B) (2) (3).  (C) (3) (4).  (D) (1) (4).  [     ] (11) 设f(x)在[a , b]上连续,且f(a)0,f(b)0,则下列结论中错误的是     (A) 至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)> f (a). (B) 至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)> f (b). (C) 至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)0. (D) 至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)= 0.     [  D  ] (12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有 (A) 当|A|a(a0)时, |B|a.   (B) 当|A|a(a0)时, |B|a. (C) 当|A|0时, |B|0.        (D) 当|A|0时, |B|0.          [    ] *(13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A0, 若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组 Axb的 互不相等的解,则对应的齐次线性方程组Ax0的基础解系 (A) 不存在.                    (B) 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量.  (D) 含有三个线性无关的解向量.    [    ] (14) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α(0,1), 数uα满足P{Xuα}α,  若P{|X|x}α, 则x等于 (A)  uα.     (B)  u21α2.     (C)  u1α.     (D)  u1α.               [    ] 2三、解答题(本题共9小题,满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)
3 |+ l& F+ Z4 L" A. A                            Born To Win 1cos2x求lim(2). 2x0sinxx(16) (本题满分8分)  求222222,其中D是由圆和(xyy)dxy4(x1)y1所围成的 D平面区域(如图).     (17) (本题满分8分)  设f (x) , g(x)在[a , b]上连续,且满足 a证明:xf(t)dtg(t)dt,x  [a , b),f(t)dtg(t)dt. aaabxbbaxf(x)dxxg(x)dx. ab(18) (本题满分9分)  设某商品的需求函数为Q = 100  5P,其中价格P  (0 , 20),Q为需求量.   (I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0); (II) 推导dRQ(1Ed)(其中R为收益),并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时, dP降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分)  设级数 x4x6x8(x) 242462468的和函数为S(x). 求: (I) S(x)所满足的一阶微分方程; (II) S(x)的表达式. (20)(本题满分13分)    设α1(1,2,0), α2(1,α2,3α), α3(1,b2,α2b), β(1,3,3),  试讨论当a,b为何值时,  (Ⅰ) β不能由α1,α2,α3线性表示; (Ⅱ) β可由α1,α2,α3唯一地线性表示, 并求出表示式;  (Ⅲ) β可由α1,α2,α3线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.  TTTT6 ]) D1 U+ j1 Q
(21) (本题满分13分)   设n阶矩阵                           Born To Win 1bbb1b                  A . bb1(Ⅰ) 求A的特征值和特征向量; (Ⅱ) 求可逆矩阵P, 使得PAP为对角矩阵. (22) (本题满分13分)   设A,B为两个随机事件,且P(A)1111, P(B|A), P(A|B), 令 432A发生,1,1,B发生,        Y X0,A不发生,0,B不发生.求 (Ⅰ) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ) X与Y的相关系数 ρXY;  (Ⅲ) ZXY的概率分布.  (23) (本题满分13分)  设随机变量X的分布函数为 22αβ,xα,     F(x,α,β)1x0,xα,其中参数α0,β1. 设X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本, (Ⅰ) 当α1时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当α1时, 求未知参数β的最大似然估计量;  (Ⅲ) 当β2时, 求未知参数α的最大似然估计量.  3 M' r7 b4 ^/ s
                           Born To Win 2016年考研数学2 ?0 h1 q/ `+ {/ u+ M
(三)真题解析 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) (1) 若limxx0sinx(cosxb)5,则a =ea1,b =4. ( |! {" J' \) m" i2 _) Z7 G
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
0 v2 P+ ?4 L# {) h& n! k【详解】因为limxx0sinx(cosxb)5,且limsinx(cosxb)0,所以 x0eax0lim(exa)0,得a = 1. 极限化为 limsinxx(cosxb)lim(cosxb)1b5,得b = 4. x0exax0x因此,a = 1,b = 4.
3 |; P. U* C6 w【评注】一般地,已知limf(x)= A, g(x)(1) 若g(x)  0,则f (x)  0; (2) 若f (x)  0,且A  0,则g(x)  0. (2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定,其中函数g(y)可微,且g(y)  0, 2f则uvg(v)g2(v).
4 G6 [4 ^& l4 i( R3 ?9 F: o【分析】令u = xg(y),v = y,可得到f (u , v)的表达式,再求偏导数即可.
* R5 j7 a4 I( ]; a" l5 O  T8 u【详解】令u = xg(y),v = y,则f (u , v) =ug(v), g(v) f12fg(v)所以,,2. ug(v)uvg(v)11x2xe,x222,则1(3) 设f(x)f(x1)dx11,x2212.
* p1 o7 C& I6 ~% U, {' C【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:x  1 = t,再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可.  3 |9 ?9 J( U# c: _5 ?
【详解】令x  1 = t,1f(x1)dx1f(t)dt1f(x)dt 222211
8 \0 j0 ?7 g6 P0 N" g7 }                     111x22=1xedx1(1)dx0()222       Born To Win 1. 2/ J- L5 m- l$ H! b# ]2 k8 R
【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解.   (4) 二次型f(x1,x2,x3)(x1x2)2(x2x3)2(x3x1)2的秩为  2  .
5 q2 P; D. Q* s% ?3 e【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换 或配方法均可得到答案.
; b1 @* @% o, g' i+ z【详解一】因为f(x1,x2,x3)(x1x2)2(x2x3)2(x3x1)2 2x12x22x32x1x22x1x32x2x3 121于是二次型的矩阵为     A121, 112112112由初等变换得          A033033 , 033000从而    r(A)2,  即二次型的秩为2.  ' D4 w1 ^4 x* a. r) m5 M' G
【详解二】因为f(x1,x2,x3)(x1x2)2(x2x3)2(x3x1)2 2222x12x22x32x1x22x1x32x2x3 113x2x3)2(x2x3)2 2223222y1y2,  211其中      y1x1x2x3,    y2x2x3. 222(x1所以二次型的秩为2.  (5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X222DX} 1. e) r! x4 k" ~5 R% R6 F" r
【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.
  I2 p/ B/ o+ ~6 Z+ ?【详解】 由于DX1, X的分布函数为 2λ1eλx,x0,  F(x)x0.0,故
9 x5 b: {) m4 C- s                           Born To Win 111P{XDX}1P{XDX}1P{X}1F(). λλe* Y# t8 [8 Q5 [+ R" t  h
【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型. (6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ2), X1,X2,Xn1和 Y1,Y2,Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则 22n2n1(XiX)(YjY)j1i1              En1n22σ2.
% F9 A- @/ J' @/ S0 t4 `+ _$ \【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案. 1n11n222- |! D* W' C! T! f5 K2 |
【详解】因为 E[(XiX)]σ,  E[(YjY)2]σ2, n11i1n21j1故应填 σ.
- H- Z8 C5 w' ^3 G$ ?7 L【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查. 二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7) 函数f(x)2|x|sin(x2)在下列哪个区间内有界. 2x(x1)(x2)(B) (0 , 1).  (C) (1 , 2). xa(A) (1 , 0).   xb(D) (2 , 3).       [  A  ] 2 [5 r* D1 i8 e$ h, Y. g/ U& t
【分析】如f (x)在(a , b)内连续,且极限limf(x)与limf(x)存在,则函数f (x) 在(a , b)内有界. $ M' U" o1 u/ L
【详解】当x  0 , 1 , 2时,f (x)连续,而limf(x)x1sin3sin2,limf(x), 184x0x0limf(x)sin2,limf(x),limf(x), x1x24所以,函数f (x)在(1 , 0)内有界,故选(A).
$ V  k* B/ v- {【评注】一般地,如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续,则f (x)在闭区间[a , b]上有界;如函数f (x)在开区间(a , b)内连续,且极限limf(x)与limf(x)存在,则函数f (x)在开区间(a , b)xaxb内有界.  (8) 设f (x)在( , +)内有定义,且limf(x)a, x
2 i8 g! S4 R' k6 S6 I/ K) f                              Born To Win 1f(),x0,则 g(x)x0,x0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.  (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点. (C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关.          [  D  ]
" A& ]' t5 V  v5 [: k【分析】考查极限limg(x)是否存在,如存在,是否等于g(0)即可,通过换元ux01, x可将极限limg(x)转化为limf(x). x0x
/ v& N' i. J- d' _1 f+ s  K【详解】因为limg(x)limf()limf(u)= a(令ux0x0u1x1),又g(0) = 0,所以, x 当a = 0时,limg(x)g(0),即g(x)在点x = 0处连续,当a  0时, x0x0limg(x)g(0),即x = 0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x = 0处的连续性 与a的取值有关,故选(D). 7 h( L) W6 m) f- q
【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x) = |x(1  x)|,则 (A) x = 0是f (x)的极值点,但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点,但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点,且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (D) x = 0不是f (x)的极值点,(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点.   [  C  ]
  k9 S5 r! I+ t( m4 r【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况, 考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况. ) X. Q0 h; u. l) s& c  |
【详解】设0 <  < 1,当x  ( , 0)  (0 , )时,f (x) > 0,而f (0) = 0,所以x = 0是f (x) 的极小值点.   显然,x = 0是f (x)的不可导点. 当x  ( , 0)时,f (x) = x(1  x),f(x)20, 当x  (0 , )时,f (x) = x(1  x),f(x)20,所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.  故选(C). 7 y& t  f# `8 V* V3 A# I9 G: N
【评注】对于极值情况,也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.  (10) 设有下列命题:  (1) 若n1(u2n1u2n)收敛,则un收敛. n1 (2) 若n1un收敛,则un1000收敛. n1 un1(3) 若lim1,则un发散. nunn1
. j. F4 J: e- Z( I7 t4 t                           Born To Win  (4) 若n1(unvn)收敛,则un,vn都收敛. n1n1则以上命题中正确的是 (A) (1) (2).  (B) (2) (3).  (C) (3) (4).  (D) (1) (4). ! C3 L4 {8 ^# a' u2 ^8 d
【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.
) |  _: S6 G0 w9 M4 }% y5 P# r; {【详解】(1)是错误的,如令un(1),显然,n [  B  ] n1un分散,而(u2n1u2n)收敛. n1(2)是正确的,因为改变、增加或减少级数的有限项,不改变级数的收敛性. un1(3)是正确的,因为由lim1可得到un不趋向于零(n  ),所以un发散. nunn111(4)是错误的,如令un,vn,显然,un,vn都发散,而 nnn1n1n1(unvn)收敛. 故选(B).
" c& `( |- [4 p) _【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法,属于基本题型.  (11) 设f(x)在[a , b]上连续,且f(a)0,f(b)0,则下列结论中错误的是     (A) 至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)> f (a). (B) 至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)> f (b). (C) 至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)0. (D) 至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)= 0.     [  D  ]
5 [! y1 ~- A+ ^2 G' {# S' |【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项,由排除法可选出错误选项. % [' q; C. w# W$ U6 [0 \; e3 \
【详解】首先,由已知f(x)在[a , b]上连续,且f(a)0,f(b)0,则由介值定理, 至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)0;  另外,f(a)limxaf(x)f(a)0,由极限的保号性,至少存在一点x0(a,b) xa 使得f(x0)f(a)0,即f(x0)f(a). 同理,至少存在一点x0(a,b) x0a 使得f(x0)f(b). 所以,(A) (B) (C)都正确,故选(D). ( }, l6 g" g: |" X: o' ?; H
                           Born To Win
( F8 u  j; P, d2 Y【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性,有一定的难度. (12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有 (A) 当|A|a(a0)时, |B|a.   (B) 当|A|a(a0)时, |B|a. (C) 当|A|0时, |B|0.        (D) 当|A|0时, |B|0.          [  D  ] 9 S) T; E4 o! E: |& G: ~; l; Q
【分析】 利用矩阵A与B等价的充要条件: r(A)r(B)立即可得. * F: x7 B  V! W3 B% G% r* E
【详解】因为当|A|0时, r(A)n, 又 A与B等价, 故r(B)n,  即|B|0, 故选(D).  . T, G  o; Q6 r) O+ R2 \
【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型. *(13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A0, 若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组 Axb的 互不相等的解,则对应的齐次线性方程组Ax0的基础解系 (A) 不存在.                    () 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量.  (D) 含有三个线性无关的解向量.    [  B  ]
, ?8 `  z& _. ~1 Y【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. ) u, v- D. ^* L
【详解】 因为基础解系含向量的个数=nr(A), 而且 r(A)n,n,r(A*)1,r(A)n1, 0,r(A)n1.*根据已知条件A0, 于是r(A)等于n或n1. 又Axb有互不相等的解,  即解不惟一, 故r(A)n1. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B). ! _( y. m% N  v, @( ~2 F; `
【评注】本题是对矩阵A与其伴随矩阵A的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查. (14) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α(0,1), 数uα满足P{Xuα}α,  若P{|X|x}α, 则x等于 (A)  uα.     (B)  u21α2*.     (C)  u1α.     (D)  u1α.               [  C  ] 2
# x- g  z4 q0 w; F【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.
) n# |9 [- V  c  k5 I% t1 U【详解】 由P{|X|x}α, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得 P{Xx}1α. 故正确答案为(C). 26 v" |" u' j# r5 I8 g+ W
【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查. 三、解答题(本题共9小题,满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
3 D; J& }  E% |2 d$ n2 [) e (15) (本题满分8分)                           Born To Win 1cos2x求lim(2). 2x0sinxx2 c9 k! Z* ~  c" O
【分析】先通分化为“0”型极限,再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 01cos2xx2sin2xcos2x7 A8 ?6 i' k# ?9 n  t- u4 ]& y
【详解】lim(2 )lim222x0sinxx0xxsinx111x2sin22x2xsin4x(4x)21cos4x4422 =lim. limlimlim4322x0x0x0x06x3x4x6x0: [% y; y$ _5 e$ _# k! f7 }
【评注】本题属于求未定式极限的基本题型,对于“”型极限,应充分利用等价无穷小0替换来简化计算. (16) (本题满分8分) 求222222,其中D是由圆和(xyy)dxy4(x1)y1所围成的平面区D域(如图). 22
1 S' P( h2 f: T, T1 N9 `3 j【分析】首先,将积分区域D分为大圆D1{(x,y)|xy4}减去小圆  D2{(x,y)|(x1)2y21},再利用对称性与极坐标计算即可. 22229 d& M/ Y$ ?) n! \  H: A( ?% s
【详解】令D}, 1{(x,y)|xy4},D2{(x,y)|(x1)y1 由对称性,yd0. DDx2y2dx2y2dx2y2d D1D220322rdr2022cos2rdr. 0 dd  163216(32) 39922(xyy)dD所以,16(32). 9- W! Y3 @$ u  g. S+ S4 N5 E1 X
【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型,对于二重积分,经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.  (17) (本题满分8分)  设f (x) , g(x)在[a , b]上连续,且满足
0 b7 d, A- _. x6 k                           Born To Win baa证明:xf(t)dtg(t)dt,x  [a , b),f(t)dtg(t)dt. aabxbaxf(x)dxxg(x)dx. ab
$ c4 z1 N. W+ S2 A" {4 r9 i2 [9 J' O【分析】令F(x) = f (x)  g(x),G(x)# {. ]+ z) B. G+ K! _+ ^
【详解】令F(x) = f (x)  g(x),G(x)       由题设G(x)  0,x  [a , b],  aF(t)dt,将积分不等式转化为函数不等式即可. aF(t)dt, xxG(a) = G(b) = 0,G(x)F(x). 从而 abxF(x)dxxdG(x)xG(x)aG(x)dxG(x)dx, aaabbbb由于 G(x)  0,x  [a , b],故有  即 G(x)dx0, abaxF(x)dx0. abb因此 xf(x)dxxg(x)dx. ab, Y  H$ P8 N& s- C  H4 X
【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分)  设某商品的需求函数为Q = 100  5P,其中价格P  (0 , 20),Q为需求量.   (I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0); (II) 推导dRQ(1Ed)(其中R为收益),并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时,dP降低价格反而使收益增加. 6 y- z& T( L2 c% @
【分析】由于Ed> 0,所以EdPdQPdQ;由Q = PQ及Ed可推导 QdPQdPdRQ(1Ed). dP
3 t3 j# J+ a) i- Y【详解】(I) Ed  PdQP. QdP20P(II) 由R = PQ,得      dRdQPdQQPQ(1)Q(1Ed). dPdPQdPP1,得P = 10. 20P 又由Ed+ W) \& E( p( J; Y) S7 c
                      当10 < P < 20时,Ed> 1,于是       Born To Win dR0, dP故当10 < P < 20时,降低价格反而使收益增加. ; Y; I  ~4 O8 Q
【评注】当Ed> 0时,需求量对价格的弹性公式为Ed  PdQPdQ. QdPQdP利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式:        dR(1Ed)Qdp,dRdR1(1Ed)Q,(1)p, dpdQEdER1Ed(收益对价格的弹性). Ep(19) (本题满分9分)  设级数 x4x6x8(x) 242462468的和函数为S(x). 求: (I) S(x)所满足的一阶微分方程; (II) S(x)的表达式.
) C- _" Z, r3 o  F, U& [【分析】对S(x)进行求导,可得到S(x)所满足的一阶微分方程,解方程可得S(x)的表达式. x4x6x8, $ c8 k$ D4 C/ y& s
【详解】(I) S(x)242462468  易见  S(0) = 0,   x3x5x7S(x) 224246    x2x4x6x() 224246x2x[S(x)]. 2      因此S(x)是初值问题   x3yxy,y(0)0的解. 2 x3(II) 方程yxy的通解为 2
: W7 C" ~1 H2 @  G. m0 r                          3xdxxxdxye[edxC] 2       Born To Win           x22x21Ce2, 由初始条件y(0) = 0,得C = 1. 故yx22x2e21,因此和函数S(x)x22x2e21.
% E% E2 V% h3 t- W* \% P【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题,2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)    设α1(1,2,0), α2(1,α2,3α), α3(1,b2,α2b)T, β(1,3,3),  试讨论当a,b为何值时,  (Ⅰ) β不能由α1,α2,α3线性表示; (Ⅱ) β可由α1,α2,α3唯一地线性表示, 并求出表示式;  (Ⅲ) β可由α1,α2,α3线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.  
: t( Y: x3 Y- G" n  j' n【分析】将β可否由α1,α2,α3线性表示的问题转化为线性方程组k1α1k2α2k3α3β 是否有解的问题即易求解.
' w* P  _: K5 t【详解】 设有数k1,k2,k3,使得                   k1α1k2α2k3α3β.           (*) 记A(α1,α2,α3). 对矩阵(A,β)施以初等行变换, 有 TTT111111110ab1. (A,β)2a2b2303aa2b300ab0(Ⅰ) 当a0时, 有 1111           (A,β)00b1. 0001可知r(A)r(A,β). 故方程组(*)无解, β不能由α1,α2,α3线性表示. (Ⅱ) 当a0, 且ab时, 有 0 O' Q/ o9 S; ^
                           Born To Win 1111(A,β)0ab100ab011001a1 010a0001r(A)r(A,β)3,  方程组(*)有唯一解:             k1111,  k2,  k30. aa此时β可由α1,α2,α3唯一地线性表示, 其表示式为            β(111)α1α2. aa(Ⅲ) 当ab0时, 对矩阵(A,β)施以初等行变换, 有 1111(A,β)0ab100ab011001a1, 011a0000r(A)r(A,β)2,  方程组(*)有无穷多解, 其全部解为             k1111,  k2c,  k3c,  其中c为任意常数. aaβ 可由α1,α2,α3线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为          β(111)α1(c)α2cα3. aa
- r, N  J+ P9 O% }2 v- F【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000). (21) (本题满分13分)   设n阶矩阵 1bbb1b                  A . bb1(Ⅰ) 求A的特征值和特征向量; (Ⅱ) 求可逆矩阵P, 使得PAP为对角矩阵. & D: A4 p: ?; ^9 e4 d
【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程 1|λEA|0和齐次线性方程组(λEA)x0来解决. % a# O6 H" M2 _) ]
                           Born To Win 4 K- q4 H7 X! `+ ]! Y( g5 |6 B) Y
【详解】 (Ⅰ)  1当b0时, λ1bbbλ1b |λEA|bbλ1=[λ1(n1)b][λ(1b)]n1 , 得A的特征值为λ11(n1)b,λ2λn1b. 对λ11(n1)b, bb11(n1)b(n1)(n1)1(n1)bb1b λ1EA b1(n1)b(n1)b1111nn111111n1111n111 1n1111n1110000000010001n1n1n00nn00000T100111 01100000解得ξ1(1,1,1,,1),所以A的属于λ1的全部特征向量为     kξ1k(1,1,1,,1)  (k为任意不为零的常数). 对λ21b, Tbbb111bbb000          λ2EA bbb000得基础解系为 ξ2(1,1,0,,0)T,ξ3(1,0,1,,0)T,,ξn(1,0,0,,1)T.
2 f- H+ `6 K$ [( `8 ]9 [: {6 ?                           Born To Win 故A的属于λ2的全部特征向量为     k2ξ2k3ξ3knξn  (k2,k3,,kn是不全为零的常数). 2 当b0时, λ1000λ10|λEA|(λ1)n, 00λ1特征值为λ1λn1,任意非零列向量均为特征向量. (Ⅱ) 1当b0时,A有n个线性无关的特征向量,令P(ξ1,ξ2,,ξn),则 1(n1)b1b P1AP1b2 当b0时,AE,对任意可逆矩阵P, 均有 P1APE.  % k8 Y( }- E3 C; }1 c# K& o) w
【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)   设A,B为两个随机事件,且P(A)111, P(B|A), P(A|B), 令 432A发生,1,1,B发生,        Y X0,A不发生,0,B不发生.求 (Ⅰ) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ) X与Y的相关系数 ρXY;  (Ⅲ) ZXY的概率分布.  " e, X. z3 \# q5 t: _( v
【分析】本题的关键是求出(X,Y)的概率分布,于是只要将二维随机变量(X,Y)的各取值对转化为随机事件A和B表示即可. 224 u2 k( s" q" ~8 @; Y% C  {( N
                           Born To Win 4 Q$ C  Y: Q2 }$ D8 H
【详解】  (Ⅰ) 因为 P(AB)P(A)P(B|A)1P(AB)1, 于是 P(B), 12P(A|B)6则有 P{X1,Y1}P(AB)1, 121, 61P{X0,Y1}P(AB)P(B)P(AB), 12P{X1,Y0}P(AB)P(A)P(AB)P{X0,Y0}P(AB)1P(AB)1[P(A)P(B)P(AB)]( 或 P{X0,Y0}1即(X,Y)的概率分布为: 2, 31112), 126123Y  X     0    1               0            1 2           31              6   1 121 12111,EYP(B),E(XY), 461211EX2P(A),EY2P(B), 463522DXEX2(EX)2,DYEY(EY), 16161      Cov(X,Y)E(XY)EXEY, 24(Ⅱ) 方法一:因为 EXP(A)所以X与Y的相关系数   ρXYCov(X,Y)DXDY11515.  15方法二:  X, Y的概率分布分别为      X      0      1                Y     0     1 3151                    P          446611351则EX,EY,DX,DY=, E(XY)=, 461636121故 Cov(X,Y)E(XY)EXEY,从而 24     P              XYCov(X,Y)DXDY15. 15$ V+ {- p3 P! X+ D& v3 j8 H
                           Born To Win (Ⅲ) Z的可能取值为:0,1,2 . P{Z0}P{X0,Y0}2, 31, 4P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}P{Z2}P{X1,Y1}即Z的概率分布为:    Z    P 0      1      2  1, 12   121           3412
: N, B" ~1 R( F( D6 z1 t! a【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布,数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题,属于综合性题型 (23) (本题满分13分)  设随机变量X的分布函数为 αβ,xα,     F(x,α,β)1x0,xα,其中参数α0,β1. 设X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本, (Ⅰ) 当α1时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当α1时, 求未知参数β的最大似然估计量;  (Ⅲ) 当β2时, 求未知参数α的最大似然估计量.  # K6 M6 A7 K! e7 e, l! }
【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数.
7 r2 H: `) u6 m6 x  @【详解】  当α1时, X的概率密度为 β,x1,             f(x,β)xβ1 0,x1,(Ⅰ)  由于             EXxf(x;β)dxx1βxβ1dxβ, β1令  XβX,   解得   β,  β1X1
2 ?0 A6 D+ O0 W& @" Z& z, K                           Born To Win 所以, 参数β的矩估计量为     βX. X1(Ⅱ) 对于总体X的样本值x1,x2,,xn, 似然函数为 βn,xi1(i1,2,,n),           L(β)f(xi;α)(xxx)β1 12ni10,其他.n当xi1(i1,2,,n)时, L(β)0, 取对数得            lnL(β)nlnβ(β1)对β求导数,得 lnx, ii1nd[lnL(β)]nn     lnxi, dββi1d[lnL(β)]nn令 lnxi0, 解得 βdββi1n, ilnxi1n于是β的最大似然估计量为                 βnlnxi1n. i( Ⅲ) 当β2时, X的概率密度为 2α2f(x,β)x3,0, xα, xα,对于总体X的样本值x1,x2,,xn, 似然函数为 2nα2n,xiα(i1,2,,n),           L(β)f(xi;α)(xxx)3 12ni10,其他.n当xiα(i1,2,,n)时, α越大,L(α)越大, 即α的最大似然估计值为 ' y1 w7 G5 K, [2 t2 v5 H0 S
                           Born To Win min{x1,x2,,xn},      α于是α的最大似然估计量为  min{X1,X2,,Xn}.           α 4 q6 M, e+ C5 w5 J* U
考研数学一二三区别# @3 ~6 F" y# x( ^3 A; ~
。                     《2016考研数学(一、二、三)真题及答案解析.电脑版点击下载文档可以下载此文章》$ |4 `7 r4 n5 p& h" o
" M/ d, _; r0 g, ?) S
https://www.16848.cn
1 W( c( P( \$ N+ [/ w) H* A168中文社区免费提供早教启蒙教育资料小学学习资料,中学作文教程,中学作文范文,中学作文写作技巧,中学学习资料,高中学习资料,人教版电子课本,外研版英语电子课本,人教版语文,人教版数学,人教版英语,,人教版物理片下载,小学作文教程,小学作文范文,小学作文写作技巧,电视剧资源,减肥瘦身食谱大全,主食配方,健康养生知识,孕产妇知识,天下美食菜谱大全,原创文学,宠物,美图欣赏,图文音画等各种免费网络教程资源,本站资源全部来自网友发布,如果侵犯了您的权益,请联系资源分享站长,本站会及时删除侵权内容!资源分享社区




您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册

本版积分规则

QQ|Archiver|手机版|168资源分享社区

JS of wanmeiff.com and vcpic.com Please keep this copyright information, respect of, thank you!JS of wanmeiff.com and vcpic.com Please keep this copyright information, respect of, thank you!

GMT+8, 2020-9-23 14:59 , Processed in 2.987432 second(s), 63 queries .

Powered by Discuz! X3.4 © 2001-2013 Comsenz Inc & 168社区

快速回复 返回顶部 返回列表