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2009年高考文科数学(北京)卷

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发表于 2020-3-9 12:31:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

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高考文科试卷
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<现在开始正题了哦,认真仔细看下面正文文章> 2009年普通高等学校招生全国统一考试 数   学(文史类)(北京卷) 满分150分。考试时间120分钟。 一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1x2},B{xx21},则AB  21   A.{x1x2}                       B.{x|x1}      21.设集合A{x|C.{x|x2}                     D.{x|1x2} 2.已知向量a(1,0),b(0,1),ckab(kR),dab,如果c//d,那么     A.k1且c与d同向                   B.k1且c与d反向     C.k1且c与d同向                  D.k1且c与d反向 3.若(12)4ab2(a,b为有理数),则ab A.33    B. 29          C.23     D.19 4.为了得到函数ylgx3的图像,只需把函数ylgx的图像上所有的点 10w.w.w.k.s.5.u.o.m     A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度     B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度     C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度     D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为  A.8    B.24        C.48     D.120 6.“6”是“cos21”的 2          B.必要而不充分条件         D.既不充分也不必要条件 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. 充分而不必要条件  C. 充分必要条件      w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7.若正四棱柱ABCDA则AC1BC11D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,11到底面ABCD的距离为  A.3 3w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     B.1       C.2    D.3 8.设D是正P1P2P3及其内部的点构成的集合,点P0是PP12P3的中心,若集合S{P|PD,|PP,2,3},则集合S表示的平面区域是  0||PPi|,i1A. 三角形区域                          B.四边形区域 C. 五边形区域                   D.六边形区域
6 O2 u8 C6 f% R二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。 9.若sin,tan0,则cos          . 10.若数列{an}满足:a11,an12an(nN),则a5           ;前8项的和S8           .(用数字作答) 45xy20,11.若实数x,y满足x4,则sxy的最大值为         . x5,3x,x1,12.已知函数f(x)若f(x)2,则x           .                     x,x1,x2y21的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|4,则|PF2|        ;13.椭圆92F1PF2的大小为        . 14.设A是整数集的一个非空子集,对于kA,如果k1A且k1A,那么k是A的一个“孤立元”,给定S{1,2,3,4,5,6,7,8,},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有           个. 三 、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
! w  z, E$ H9 m0 \/ O) E& R 15.(本小题共12分)已知函数f(x)2sin(x)cosx.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m  (Ⅱ)求f(x)在区间  16.(本小题共14分) ,上的最大值和最小值. 62如图,四棱锥PABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,点E在棱PB上. (Ⅰ)求证:平面AEC平面PDB;(Ⅱ)当PD w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2AB且E为PB的中点时,求AE与 平面PDB所成的角的大小.     / ]/ Z5 ]# n. a6 E
17.(本小题共13分) 某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是1,遇到红灯时停留的时间都是2min. 3(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.    18.(本小题共14分) 设函数f(x)x33axb(a0). (Ⅰ)若曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切,求a,b的值; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点.    19.(本小题共14分) x2y23已知双曲线C:221(a0,b0)的离心率为3,右准线方程为x。 ab3(Ⅰ)求双曲线C的方程;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m  (Ⅱ)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆xy5上,求m的值.  20.(本小题共13分) 设数列{an}的通项公式为anpnq(nN,P0). 数列{bn}定义如下:对于正整数m,bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值. (Ⅰ)若p22w.w.w.k.s.5.u.c.o.m  11,q,求b3; 23w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)若p2,q1,求数列{bm}的前2m项和公式; (Ⅲ)是否存在p和q,使得bm3m2(mN)。如果存在,求p和q的取值范围;如果不存在,请说明理由.   
) k5 m% [, w8 V9 T, a参考答案及解析 一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。 1." F0 l' Y5 G# {: [6 S
【答案】A
* X7 h1 E$ q) F! E【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵A{x|1x2},B{xx21}x|1x1, 2∴ AB{x1x2},故选A. 2.4 ~% B. h/ `; T4 E3 s9 [  D1 ^
【答案】D % O- u. w! a8 o1 T
【解析】本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. .wk.s.5.u.c        ∵a1,0,b0,1,若k1,则cab1,1,dab1,1,        显然,a与b不平行,排除A、B.         若k1,则cab1,1,dab1,1, 即c//d且c与d反向,排除C,故选D. .o.m  3.
! z9 {5 a: u1 Q【答案】B 6 j9 H6 e1 h1 `. D8 i6 b
【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. .w      ∵124C0420C142C21242C342C2 3444        1421282417122,        由已知,得17122ab2,∴ab171229.故选B. .k.s.5.u.c.o.m .w4.
3 T% E, L% B0 |3 E【答案】C ( D( m, g* X# Y) {* A& W. \
【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.     A.ylgx31lg10x3, B.ylgx31lg10x3, x3, 10x3D.ylgx31lg. 10C.ylgx31lg故应选C. 5.4 z* g2 Q; k% n5 n! x2 t
【答案】C : o7 p# _! q! J4 g
【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. .w12和4排在末位时,共有A22种排法, 7 k& N2 g4 @9 V; {. A
3其余三位数从余下的四个数中任取三个有A443224种排法, 于是由分步计数原理,符合题意的偶数共有22448(个).故选C. 6.
+ b2 Y: q8 y3 q; D+ j【答案】A ' d' E  m1 y/ W- @
【解析】本题主要考查本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. .w.k     当6时,cos2cos31, 2反之,当cos21时,有22kkkZ, 236             或22k3k6kZ,故应选A. 7.% Y: A! L) S7 i2 C
【答案】D
. @& G- q( }% [' w8 v【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.  属于基础知识、基本运算的考查. .w.k       依题意,B1AB60,如图, BB11tan603,故选D. 8.
7 @& J5 _  a) b: q【答案】D 7 r9 _- A' u" U3 `# j
【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 如图,A、B、C、D、E、F为各边 三等分点,答案是集合S为六边形 ABCDEF,其中, .5.u.c.o.大光明P,3  0AP2APAii1即点P可以是点A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                                      (第8题解答图) 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。6 `/ g3 |! [4 f' m' Z! D" F4 D
把答案填写在题中横线上。 9.
$ q2 O  b; w- u. v* ?3 m【答案】3 5
! B: a3 O+ t" I0 y! u$ Q; b. g【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查. 3342在第三象限,由已知,∴cos1sin1,∴应填. 55510.
8 ~) H5 m2 n  v. t' [【答案】255
( |6 D( w, P6 G7 ^2 W) l【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.属于基础知识、基本运算的考查. .wm 2     a11,a22a12,a32a24,a42a38,a52a416, , X* b3 g0 D- V1 o4 H# a0 s4 D
281255,∴应填255.      易知S82111.# M+ v, x& B/ `
【答案】9 ! T! N7 ^4 j) u- M( m% a2 a* @
【解析】本题主要考查线性规划方面的 基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. .s.5.u         如图,当x4,y5时, sxy459为最大值. 故应填9.   (第11题解答图) 12.
( F/ i  C1 N1 A. H* e  E, M2 A& A+ z【答案】log32 .w.w.k.s.5.w
. d0 R: Y; ?3 e* s( o% G6 m, h【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算的考查. 5.u.cx1x1由x无解,故应填log32. xlog32,x2x23213.( l: B3 d$ S: ]8 N  a+ }7 N' g
【答案】2,120
: L/ q% b3 b* N$ k$ J1 p- i【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查. .wu.c.o.m         ∵a9,b3, ∴ca2b2927, ∴F1F227, 又PF14,PF1PF22a6,∴PF22,   (第13题解答图) 22又由余弦定理,得cosF1PF222422722421, 2∴F1PF2120,故应填2,120. 14.+ h2 y$ |5 s8 q) {
【答案】6
/ C$ A7 k) {. d7 {) U0 T" f【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.   什么是“孤立元”。
: F6 `3 D& U% \$ y; a1 m( [依题意可知,必须是没有与k相邻的元素,因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类: .w因此,符合题意的集合是:1,2,3,4,5,6,5,6,7,2,3,4,3,4,5,6,7,8共6
) o$ @5 Q% C9 N1 G9 B9 i  D个.      故应填6. 三 、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
& a5 S( L$ e8 M" o( r3 ], I 15.(本小题共12分) / F, p% k! c# Z) ~. h; E" u
【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识,主要考查基本运算能力. (Ⅰ)∵fx2sinxcosx2sinxcosxsin2x, ∴函数f(x)的最小正周期为. (Ⅱ)由6x232x,∴3sin2x1, 2∴f(x)在区间3. ,上的最大值为1,最小值为26216.(本小题共14分)
3 Q: z1 _) \5 \) U* L6 b! T【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. (Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD, ∵PD底面ABCD, ∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB, ∴平面AEC平面PDB. (Ⅱ)设AC∩BD=O,连接OE,       由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,       ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,       ∴O,E分别为DB、PB的中点,       ∴OE//PD,OE1PD,又∵PD底面ABCD, 2      ∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,       在Rt△AOE中,OE12PDABAO, 22            ∴AOE45,即AE与平面PDB所成的角的大小为45.
# u+ Z* V8 U5 Y* S【解法2】如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,               设ABa,PDh, 则Aa,0,0,Ba,a,0,C0,a,0,D0,0,0,P0,0,h, (Ⅰ)∵ACa,a,0,DP0,0,h,DBa,a,0, 6 b. g, P7 M: d' p8 s
∴ACDP0,ACDB0, ∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面PDB, ∴平面AEC平面PDB. 112a(Ⅱ)当PD2AB且E为PB的中点时,P0,0,2a,Ea,a,22, 2   设AC∩BD=O,连接OE,   由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,    ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角, 1122a  ∵EAa,a,2,EO0,0,2a, 22EAEO2∴cosAEO, 2EAEO∴AOE45,即AE与平面PDB所成的角的大小为45. 17.(本小题共13分) 某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是1,遇到红灯时停留的时间都是2min. 3(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.   s# Q- D5 O  e$ Z
【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力. (Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为PA1113114. 3327(Ⅱ)设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B,这名学生在上学路上遇到k次红灯的事件Bkk0,1,2. 216      则由题意,得PB0, 381241232212. PB1C,PB2C4813381331413224由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”, ∴事件B的概率为PBPB0PB1PB28. 9
  h( L+ s; ?; c18.(本小题共14分) 设函数f(x)x33axb(a0). (Ⅰ)若曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切,求a,b的值; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点.
) c5 F- t+ W1 d【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ)f'x3x23a, ∵曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切, '34a0a4,f20∴ 86ab8b24.f28'2(Ⅱ)∵fx3xaa0, 当a0时,f'x0,函数f(x)在,上单调递增, 此时函数f(x)没有极值点. 当a0时,由f'x0xa, 当xa,a时,fx0,函数f(x)单调递减, 当xa,时,fx0,函数f(x)单调递增, '当x,a时,fx0,函数f(x)单调递增, ''∴此时xa是f(x)的极大值点,x19.(本小题共14分) a是f(x)的极小值点. x2y23已知双曲线C:221(a0,b0)的离心率为3,右准线方程为x。 ab3(Ⅰ)求双曲线C的方程;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m  (Ⅱ)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆xy5上,求m的值.22w.w.w.k.s.5.u.c.o.m  
& |* O' T9 R$ x, b8 T【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力. 7 ]) _4 V+ N- C2 n
a233,解得a1,c3, (Ⅰ)由题意,得cc3aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m y21.                ∴bca2,∴所求双曲线C的方程为x22222(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2,线段AB的中点为Mx0,y0, 2y21x22      由得x2mxm20(判别式0), 2xym0     ∴x0x1x2m,y0x0m2m, 2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ∵点Mx0,y0在圆x2y25上,2∴m2m5,∴m1. 2 20.(本小题共13分) 设数列{an}的通项公式为anpnq(nN,P0). 数列{bn}定义如下:对于正整数m,bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值. (Ⅰ)若p11,q,求b3; 23w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)若p2,q1,求数列{bm}的前2m项和公式; (Ⅲ)是否存在p和q,使得bm3m2(mN)。! r8 K2 o" R/ F/ |5 j* y
如果存在,求p和q的取值范围;如果不存在,请说明理由.   a  s' t' J" j2 q
【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. (Ⅰ)由题意,得an        ∴111120n,解n3,得n. 23233 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11n3成立的所有n中的最小整数为7,即b37. 23w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        (Ⅱ)由题意,得an2n1, 对于正整数,由anm,得n根据bm的定义可知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m m1. 2 * W" s# A) s1 b! G8 h( A
**当m2k1时,bmkkN;当m2k时,bmk1kN. ∴b1b2b2mb1b3b2m1b2b4b2m                  123m234m1                  mm1mm3m22m. 22 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅲ)假设存在p和q满足条件,由不等式pnqm及p0得nmq. p∵bm3m2(mN),根据bm的定义可知,对于任意的正整数m 都有 3m1mq3m2,即2pq3p1mqpp对任意的正整数m都成立.      当3p10(或3p10)时,得m      这与上述结论矛盾。    当3p10,即p pq2pq(或m), 3p13p1w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12121时,得q0q,解得q. 33333     ∴ 存在p和q,使得bm3m2(mN); p和q的取值范围分别是p121,q. 333 w.w.w.k.s.57 e1 P4 Q$ Y- c9 ^, M
高考文科试卷0 K% Y5 ~+ z; H/ M! x
。                     《2009年高考文科数学(北京)卷.电脑版点击下载文档可以下载此文章》2 C8 D) S1 ?. E9 w6 j  b" t
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