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2018年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)

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发表于 2020-3-12 21:22:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

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理科数学试卷
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<现在开始正题了哦,认真仔细看下面正文文章>  2018年北京市高考数学试卷(理科) 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
, A+ q- b3 U! x& x 1.(5分)已知集合A={x||x|<2},B={﹣2,0,1,2},则A∩B=(  ) A.{0,1} B.{﹣1,0,1}  C.{﹣2,0,1,2} 2.(5分)在复平面内,复数A.第一象限 D.{﹣1,0,1,2}  的共轭复数对应的点位于(  ) C.第三象限 D.第四象限  B.第二象限 3.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的s值为(  )  A. B. C. D.  4.(5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献,十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于A..若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(  ) f B.f C.f D.f  5.(5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(  )  0 V5 R5 W: f. H( S" Z8 n% g1 p" ^
  A.1 B.2 C.3 D.4  6.(5分)设,均为单位向量,则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的(  ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件  D.既不充分也不必要条件  7.(5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x﹣my﹣2=0的距离.当θ、m变化时,d的最大值为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4  8.(5分)设集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2},则(  ) A.对任意实数a,(2,1)∈A C.当且仅当a<0时,(2,1)A   二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。 9.(5分)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为     . 10.(5分)在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切,则a=     . 11.(5分)设函数f(x)=cos(ωx﹣x都成立,则ω的最小值为     . 12.(5分)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y﹣x的最小值是     . 13.(5分)能说明“若f(x)>f
$ f' @3 B( [6 l$ S3 U2 \
. c( k1 Y" p3 K(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是     . )(ω>0),若f(x)≤f()对任意的实数B.对任意实数a,(2,1)A   D.当且仅当a≤时,(2,1)A  
8 g5 P4 l6 M8 F  h: f+ g 14.(5分)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为     ;双曲线N的离心率为     .   三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15.(13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣. (Ⅰ)求∠A; (Ⅱ)求AC边上的高.      16.(14分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEF; (Ⅱ)求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值; (Ⅲ)证明:直线FG与平面BCD相交. ,AC=AA1=2.    17.(12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类  
' h2 ^. x3 z1 r6 Y$ R8 z 电影部数 好评率 140 0.4 50 0.2 300 0.15 200 0.25 800 0.2 510 0.1 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率; (Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢.“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.        18.(13分)设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f# z7 {' x9 C7 }6 i
; D# ^- _6 w+ n! c
(1))处的切线与x轴平行,求a; (Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.      19.(14分)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N. (Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围; (Ⅱ)设O为原点,  =λ,=μ,求证:+为定值.
; T2 I2 l' H4 Y# H! B                        20.(14分)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n},对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…yn),记 M(α,β)=[(x1+y1﹣|x1﹣y1|)+(x2+y2﹣|x2﹣y2|)+…(xn+yn﹣|xn﹣yn|)] (Ⅰ)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值; (Ⅱ)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数
( u; y8 o/ \* O$ \) E 的最大值; (Ⅲ)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0,写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.    - p8 l2 T$ T+ s2 W% W' T
  2018年北京市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析   一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.(5分)已知集合A={x||x|<2},B={﹣2,0,1,2},则A∩B=(  ) A.{0,1}  B.{﹣1,0,1} C.{﹣2,0,1,2} D.{﹣1,0,1,2}  
  k: ~  T2 n$ X3 j; w( k# S3 g3 \/ l【考点】1E:交集及其运算.
8 Q6 d0 H; \. D; @: ^0 |【专题】
  a+ i1 r' g- y( _38:对应思想;4O:定义法;5J:集合.
) U$ S, v+ {6 l  E; L& O0 x; e" S/ ~【分析】根据集合的基本运算进行计算即可.
6 ~9 g* R, B* g- s6 }' u【解答】解:A={x||x|<2}={x|﹣2<x<2},B={﹣2,0,1,2}, 则A∩B={0,1}, 故选:A.
$ s- E/ V  G: l【点评】本题主要考查集合的基本运算,根据集合交集的定义是解决本题的关键.比较基础.   2.(5分)在复平面内,复数A.第一象限  的共轭复数对应的点位于(  ) C.第三象限 D.第四象限  B.第二象限
# ^, u9 K2 U- `! n+ d4 }【考点】A0 X6 Q2 V0 j" L; T- [: W8 i
4:复数的代数表示法及其几何意义. : Y' w/ {' S  H' i0 Z
【专题】
5 v' }9 H5 h% h! W11:计算题;
8 {7 A3 k2 e( {6 t# B, W' ]35:转化思想;% Z8 @7 t# C- w/ s9 H7 I
49:综合法;5N:数系的扩充和复数.
" a2 H/ o1 E7 U* u' u. s. L! X5 F* n【分析】利用复数的除法运算法则,化简求解即可. & ?9 W* `  g& J+ f
【解答】解:复数==, 共轭复数对应点的坐标(,﹣)在第四象限. 故选:D. 7 w" H, b2 P- \2 A" S2 Q2 Z1 B: I& L# h
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算,复数的几何意义,是基本知识的考查.   3.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的s值为(  )  / Q' N( S1 e- h( u0 C
  A.  B. C. D.  % y2 z1 d, M  H) W
【考点】EF:程序框图. 1 c0 ]6 j/ {" q) [$ ^$ h9 u9 P
【专题】& }1 b7 m8 k9 b
35:转化思想;5K:算法和程序框图.
2 w$ z7 w9 L( C3 o4 N【分析】直接利用程序框图的应用求出结果. % p5 @# r% n# L8 `/ M
【解答】解:执行循环前:k=1,S=1. 在执行第一次循环时,S=1﹣=. 由于k=2≤3, 所以执行下一次循环.S=k=3,直接输出S=, 故选:B. 3 z; W5 E+ n4 _/ @
【点评】本题考查的知识要点:程序框图和循环结构的应用.   4.(5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献,十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(  )  ,
+ E9 N3 @  R; v A. f B.f C.f D.f  
0 H, r: Q! t- d% I【考点】
$ Q& N8 H1 S5 `0 j" ~88:等比数列的通项公式. 8 h" }* u7 F4 w7 `
【专题】6 L' R; J! A- g: y
11:计算题;
) I  p' R  Q5 \1 W" e8 q5 H34:方程思想;
4 ^  R: F# j3 u; I8 w4 J/ D49:综合法;
: ]- O% U) v9 \5 {/ h. x/ t) X8 v0 @54:等差数列与等比数列. 9 l% O# {. O* B* L
【分析】利用等比数列的通项公式,转化求解即可. + k% \8 ]4 m1 G" T- j3 D9 J
【解答】解:从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于. 若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为:故选:D. 4 u  d4 i6 T( j/ h- E
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法,考查计算能力.   5.(5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(  )=.  A.1  B.2 C.3 D.4  
% A" ^3 n1 k, v3 Y3 \% X, J【考点】L。:由三视图求面积、体积;L
+ b6 M' u9 q( G0 a' R" s( Q& ^7:简单空间图形的三视图.
" C5 ~; ]; m! m9 c【专题】" w4 K( X7 U& r, p% z) _8 x
11:计算题;
2 i; R* Z. q1 q1 W0 w# G31:数形结合;+ g9 r  P5 f, W+ o
35:转化思想;" ^8 d% G; W* V3 K0 I
49:综合法;5F:空间位置关系与距离. 2 y- ?0 r% s  M5 a2 V1 L3 I
【分析】出三视图的直观图,判断各个面的三角形的情况,即可推出结果.
0 J0 o' n; D( Y【解答】解:四棱锥的三视图对应的直观图为:PA⊥底面ABCD, AC=,CD=, ,可得三角形PCD不是直角三角形. PC=3,PD=2所以侧面中有3个直角三角形,分别为:△PAB,△PBC,  5 T1 {  I: S7 \- @9 K! q' [
△PAD. 故选:C.  ) c- W4 a4 c# ~6 v9 \5 ]' O7 ?
【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用,是基本知识的考查.   6.(5分)设,均为单位向量,则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的(  ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件  B.必要而不充分条件  D.既不充分也不必要条件  
* O  Z8 R" b' }* B& D- I9 i【考点】
. n) F* j" F2 B1 c; d+ }29:充分条件、必要条件、充要条件. / J  B6 D" d& g( _8 {( \# X) `
【专题】
6 _- O8 n, N; n35:转化思想;4R:转化法;5L:简易逻辑.
+ U- k0 v: y: K) I( m% @1 v【分析】根据向量数量积的应用,结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可.
, u/ s1 Q- E8 s9 h8 ^【解答】解:∵“|﹣3|=|3+|” ∴平方得||2+9||2﹣6=9+1+6=9|, |2+||2+6, 即1+9﹣6即12则=0, =0,即⊥, 则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的充要条件, 故选:C.
2 ~1 V7 E  \* k9 q【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键.   7.(5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x﹣my﹣2=0的距离.当θ、m变化时,d的最大值为(  ) A.1 B.2 C.3  D.4  
  ~1 K% C+ h% g/ ^. W8 i, \+ z# P$ A+ B  
# S/ V$ C. k" s9 v/ g" e【考点】IT:点到直线的距离公式. % R6 I: ?$ a1 `* y
【专题】' S0 U5 X/ S: t
11:计算题;; n, T7 h% ~* `# V! C- R3 q
35:转化思想;
; I7 B) L6 o  m" J) Q+ S49:综合法;5B:直线与圆. 7 L. w* U- \4 c* b6 U
【分析】由题意d=dmax=1+=,当sin(θ+α)=﹣1时,≤3.由此能求出d的最大值.
% `# m6 A9 \; J【解答】解:由题意d=tanα==, ∴当sin(θ+α)=﹣1时, dmax=1+≤3. =, ∴d的最大值为3. 故选:C. ; }- D! X7 S$ M* Y8 ]8 b9 W  c
【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法,考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.   8.(5分)设集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2},则(  ) A.对任意实数a,(2,1)∈A C.当且仅当a<0时,(2,1)A  B.对任意实数a,(2,1)A   D.当且仅当a≤时,(2,1)A ' C( r6 K2 k, X5 Q
【考点】7C:简单线性规划. 9 o7 {  z5 V) R3 n
【专题】
0 r' h5 N- a7 Y, g# ^6 c& g$ W11:计算题;
0 P# n0 _+ u( L" o35:转化思想;
7 e8 C9 B( \% m9 t' V& V49:综合法;5T:不等式.
8 V. p2 D0 Z$ T: q【分析】利用a的取值,反例判断(2,1)∈A是否成立即可. ' c' [! F5 P0 C! W& W
【解答】解:当a=﹣1时,集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2}={(x,y)|x﹣y≥1,﹣x+y>4,x+y≤2},显然(2,1)不满足,﹣x+y>4,x+y≤2,所以A不正确; 当a=4,集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2}={(x,y)|x﹣y≥1,4x+y>4,x﹣4y≤2},显然(2,1)在可行域内,满足不等式,所以B不正确;  
7 S$ ]/ n$ Z1 [) p  I" r8 ^ 当a=1,集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2}={(x,y)|x﹣y≥1,x+y>4,x﹣y≤2},显然(2,1)A,所以当且仅当a<0错误,所以C不正确; 故选:D.
6 n, F3 Q' \) v4 q% T7 M4 }$ e9 |- G【点评】本题考查线性规划的解答应用,利用特殊点以及特殊值转化求解,避免可行域的画法,简洁明了.   二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。 9.(5分)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为 an=6n﹣3 .  . K/ N! B1 Y% \* b
【考点】, S% H7 Q7 @5 o/ W$ C- u) M
84:等差数列的通项公式.
. j7 J( v, y0 k& `0 A【专题】- e. ^. h* G7 m0 P% Y3 A
11:计算题;+ u9 O- s3 m6 H) ~5 J
34:方程思想;4O:定义法;+ |' B9 V9 ]# I& c/ X. W3 O$ U9 c
54:等差数列与等比数列. + J3 P3 b% h) z. L
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1=3,d=6,由此能求出{an}的通项公式. - {, J& K- E/ S. u+ j
【解答】解:∵{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36, ∴解得a1=3,d=6, ∴an=a1+(n﹣1)d=3+(n﹣1)×6=6n﹣3. ∴{an}的通项公式为an=6n﹣3. 故答案为:an=6n﹣3. + |8 k4 p2 C8 _( |$ U
【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.   10.(5分)在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切,则a= 1+ ,  .
9 K0 P$ \9 i9 e【考点】Q
  M. F2 y: ~8 r" i  h4:简单曲线的极坐标方程.
. Z; [  j( e- }( n* u【专题】
( c( q7 N& h4 x+ F7 t+ t. ^11:计算题;8 h4 C/ C- T) e
35:转化思想;
' J. [5 t3 l3 F* Y; l4 d* ~49:综合法;5S:坐标系和参数方程. ( z' Q5 X$ G( D' {0 `0 k
【分析】首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程,进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果.
1 I. L/ d4 I. A" z0 s+ k【解答】解:圆ρ=2cosθ, 转化成:ρ2=2ρcosθ,  % G' q! s! E% q4 z9 M2 L
进一步转化成直角坐标方程为:(x﹣1)2+y2=1, 把直线ρ(cosθ+sinθ)=a的方程转化成直角坐标方程为:x+y﹣a=0. 由于直线和圆相切, 所以:利用圆心到直线的距离等于半径. 则:=1, .a>0 解得:a=1±则负值舍去. 故:a=1+. 故答案为:1+. 5 B) W  \5 Z$ z6 S6 v
【点评】本题考查的知识要点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线与圆相切的充要条件的应用.   11.(5分)设函数f(x)=cos(ωx﹣x都成立,则ω的最小值为  )(ω>0),若f(x)≤f()对任意的实数 .
9 a$ w8 Z. ~3 A+ m1 t- B3 R4 l【考点】HW:三角函数的最值. " A% \2 F5 Z" c1 ]! c
【专题】8 ~5 i5 I/ z, W( R. Y
11:计算题;
- f6 S* g/ r  E% N3 Q* ]' }35:转化思想;2 K; P8 P* o' ?( ^
49:综合法;
! O  N/ _9 }3 ?& Q/ k56:三角函数的求值. ! `& N* J! H2 z6 L+ x' c
【分析】利用已知条件推出函数的最大值,然后列出关系式求解即可. - o4 |' o8 y5 X7 ]5 H* \- q7 i0 d
【解答】解:函数f(x)=cos(ωx﹣x都成立, 可得:则ω的最小值为:. 故答案为:. 3 P1 {( O: N+ A) N
【点评】本题考查三角函数的最值的求法与应用,考查转化思想以及计算能力.   12.(5分)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y﹣x的最小值是 3 .   )(ω>0),若f(x)≤f()对任意的实数,k∈Z,解得ω=,k∈Z,ω>0 7 p8 \. z  Y# `! o1 m8 E; d( t

5 _; |/ b# E9 P  m4 w3 b【考点】7C:简单线性规划.
9 K8 w; [7 I' P3 R6 L- B+ s【专题】, j8 B' T' {* o$ O2 a. F2 F$ I
31:数形结合;4R:转化法;- I; `' p% M; O: o/ G8 s* n
59:不等式的解法及应用. . x' a/ H6 U% u" n/ p, Z/ F, i3 k
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义进行求解即可. 7 K$ s7 r  J% z  p1 Q7 ]
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 设z=2y﹣x,则y=x+z, 平移y=x+z, 由图象知当直线y=x+z经过点A时, 直线的截距最小,此时z最小, 由得,即A(1,2), 此时z=2×2﹣1=3, 故答案为:3  
2 p% v) Q% f' U* x8 r【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键.   13.(5分)能说明“若f(x)>f- w; V& c% j6 z2 \0 R+ U; ?% l

3 b2 z- T5 X% q& h7 Y1 w6 W1 z8 u(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是 f(x)=sinx .  
1 e7 Q, C* t, @【考点】2J:命题的否定. * d! ]5 x% ~8 R% @' {
【专题】
' |1 r- Z2 C2 s- s5 E11:计算题;; g0 L% t8 v3 D7 H" [
38:对应思想;4R:转化法;
$ n& M: @' y- \$ r51:函数的性质及应用.
$ Q) b4 S. q- B/ H【分析】本题答案不唯一,符合要求即可.  
" v9 {/ ^; [8 G
' J2 c0 a- P+ o+ k1 T8 ~【解答】解:例如f(x)=sinx, 尽管f(x)>f: c) }/ g3 c* O8 V" Q
, @" B" l, Z, t8 w1 l9 a5 x) Q8 o0 A2 |+ K
(0)对任意的x∈(0,2]都成立, 当x∈[0,)上为增函数,在(,2]为减函数, 故答案为:f(x)=sinx.
* i/ @$ r$ P  e$ v: X【点评】本题考查了函数的单调性,属于基础题.   14.(5分)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为   ;双曲线N的离心率为 2 . , E* h) g* `0 W# n
【考点】K  f, Q1 p9 j: R+ u' D6 h$ R4 a! @1 _
4:椭圆的性质;KC:双曲线的性质.
! C7 p, T- R# U【专题】
" H( g1 n6 C* m11:计算题;
% k9 `3 o" S$ }6 p) K34:方程思想;2 Y; Z0 O. F2 u) ?$ T0 G  M
35:转化思想;
% l( S1 _! L" g; i: b7 |2 z49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程. $ t, T* p9 V/ Q& P) m/ `
【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标,代入椭圆方程,求出椭圆的离心率;利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可. , J% R' S, {: G& W$ z
【解答】解:椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点, 可得椭圆的焦点坐标(c,0),正六边形的一个顶点(,可得,可得e4﹣8e2+4=0,e∈(0,1), ),可得:,解得e=. ,即, 同时,双曲线的渐近线的斜率为可得:,即, 可得双曲线的离心率为e=故答案为:;2. =2.  * K+ {& t; B+ N  S' ]* z

4 B0 h; {" e4 S8 `) S/ Y【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.   三、解答题共6小题,共80分。
  W1 `; g- X* v' ?% z6 A% _解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15.(13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣. (Ⅰ)求∠A; (Ⅱ)求AC边上的高.  
& z* [2 j3 {  q【考点】HP:正弦定理.   L# [" r6 B# e( E" X6 z
【专题】+ S: h0 {' k) B& S# @) K
34:方程思想;4O:定义法;# d4 K( u: s" P( A2 m* ?2 G
58:解三角形. $ u- p8 i. ?' J# P4 F4 y
【分析】(Ⅰ)由正弦定理结合大边对大角进行求解即可. (Ⅱ)利用余弦定理求出c的值,结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可.
- ^7 k. G: x' O' W: j) D$ E【解答】解:(Ⅰ)∵a<b,∴A<B,即A是锐角, ∵cosB=﹣,∴sinB===, 由正弦定理得则A=. =得sinA===, (Ⅱ)由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB, 即64=49+c2+2×7×c×, 即c2+2c﹣15=0, 得(c﹣3)(c+5)=0, 得c=3或c﹣5(舍), 则AC边上的高h=csinA=3×=.
' N7 K0 }' a6 M【点评】本题主要考查解三角形的应用,利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决本题的关键.   16.(14分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEF;  ,AC=AA1=2.
$ \/ @0 a5 q  g. L8 R1 X8 I* y (Ⅱ)求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值; (Ⅲ)证明:直线FG与平面BCD相交.   
2 l2 M' z. q/ F+ \! A& |【考点】LW:直线与平面垂直;MI:直线与平面所成的角;MJ:二面角的平面角及求法.
, i8 b8 Q( i" O【专题】
: p# C+ B0 `& |9 L' X31:数形结合;
7 [8 N+ F# b$ y$ M9 a41:向量法;5F:空间位置关系与距离.
$ l: Z0 T& O; ^" K) I8 x, k4 ^【分析】(I)证明AC⊥BE,AC⊥EF即可得出AC⊥平面BEF; (II)建立坐标系,求出平面BCD的法向量,通过计算与(III)计算与的数量积即可得出结论. 的夹角得出二面角的大小;
0 y( r1 N+ Z. Q; ^. Q7 H: g. p( H! \【解答】(I)证明:∵E,F分别是AC,A1C1的中点,∴EF∥CC1, ∵CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC, 又AC平面ABC,∴EF⊥AC, ∵AB=BC,E是AC的中点, ∴BE⊥AC, 又BE∩EF=E,BE平面BEF,EF平面BEF, ∴AC⊥平面BEF. (II)解:以E为原点,以EB,EC,EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示: 则B(2,0,0),C(0,1,0),D(0,﹣1,1), ∴=(﹣2,1,0),=(0,﹣2,1), ,即, 设平面BCD的法向量为=(x,y,z),则令y=2可得=(1,2,4),又EB⊥平面ACC1A1, ∴=(2,0,0)为平面CD﹣C1的一个法向量, >===. ∴cos<, . n( u8 x9 k& {  P+ Y8 ?
由图形可知二面角B﹣CD﹣C1为钝二面角, ∴二面角B﹣CD﹣C1的余弦值为﹣. =(2,0,﹣1), (III)证明:F(0,0,2),(2,0,1),∴∴∴=2+0﹣4=﹣2≠0, 与不垂直, ∴FG与平面BCD不平行,又FG平面BCD, ∴FG与平面BCD相交.  
; U! r2 L* A3 O- C【点评】本题考查了线面垂直的判定,二面角的计算与空间向量的应用,属于中档题.   17.(12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型 电影部数 好评率 第一类 140 0.4 第二类 50 0.2 第三类 300 0.15 第四类 200 0.25 第五类 800 0.2 第六类 510 0.1 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率; (Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢.“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.  # v$ {7 c. e: T9 @7 F: Q* |* ]
【考点】CB:古典概型及其概率计算公式;CH:离散型随机变量的期望与方差.  ' I! L) T( R6 o5 M  [, ]
% L3 I; P8 Y7 `- m: Z$ R  [
【专题】7 A  \7 Z* s1 H5 P$ f7 R- c
11:计算题;: _4 O. m+ T7 X1 G; X- m/ L% ]# J3 E
35:转化思想;
: Q, R- A6 ?8 Y. ^- b! X; V49:综合法;5I:概率与统计.
9 P, Z8 p* Q! _2 K. d6 u+ l3 \【分析】(Ⅰ)先求出总数,再求出第四类电影中获得好评的电影的部数,利用古典概型概率计算公式直接求解. (Ⅱ)设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”,第四类获得好评的有50部,第五类获得好评的有160部,由此能求出从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率. (Ⅲ)由题意知,定义随机变量如下:ξk=,则ξk服从两点分布,分别求出六类电影的分布列及方差由此能写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.
1 _& t4 d, P9 {% ^/ b【解答】解:(Ⅰ)设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影”, 总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部, 第四类电影中获得好评的电影有:200×0.25=50部, ∴从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为: P(A)==0.025. (Ⅱ)设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”, 第四类获得好评的有:200×0.25=50部, 第五类获得好评的有:800×0.2=160部, 则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率: P(B)==0.35. (Ⅲ)由题意知,定义随机变量如下: ξk=, 则ξk服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下: 第一类电影:  ξ1  P E(ξ1)=1×0.4+0×0.6=0.4, D(ξ1)=(1﹣0.4)2×0.4+(0﹣0.4)2×0.6=0.24.   1  0.4  0  0.6
4 ~- m, E9 P0 z) g5 m 第二类电影:  ξ2  P E(ξ2)=1×0.2+0×0.8=0.2, D(ξ2)=(1﹣0.2)2×0.2+(0﹣0.2)2×0.8=0.16. 第三类电影:  ξ3  P E(ξ3)=1×0.15+0×0.85=0.15, D(ξ3)=(1﹣0.15)2×0.15+(0﹣0.85)2×0.85=0.1275. 第四类电影:  ξ4  P E(ξ4)=1×0.25+0×0.75=0.15, D(ξ4)=(1﹣0.25)2×0.25+(0﹣0.75)2×0.75=0.1875. 第五类电影:  ξ5  P E(ξ5)=1×0.2+0×0.8=0.2, D(ξ5)=(1﹣0.2)2×0.2+(0﹣0.2)2×0.8=0.16. 第六类电影:  ξ6  P E(ξ6)=1×0.1+0×0.9=0.1, D(ξ5)=(1﹣0.1)2×0.1+(0﹣0.1)2×0.9=0.09. ∴方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系为: Dξ6<Dξ3<Dξ2=Dξ5<Dξ4<Dξ1. $ z2 P7 _; O6 L5 k. q7 z" Q( C
【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的方差的求法,考查古典概型、两点分布等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.   1  0.2  0  0.8  1  0.15  0  0.85  1  0.25  0  0.75  1  0.2  0  0.8  1  0.1  0  0.9 & C% h1 q: D" \+ K+ c
   18.(13分)设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f. ?0 I1 D9 f* Z7 A

  F* W$ I, r* V1 j5 _. a' Q(1))处的切线与x轴平行,求a; (Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.  
; n! q0 q: B: @; H2 i: t. p  ^【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程. 8 i7 D8 v$ e. [4 g
【专题】* H# {0 j3 L5 k) c
32:分类讨论;3 f5 k3 X, _! s8 y1 o0 F+ O
34:方程思想;% d9 ?2 k, z0 y+ S+ L1 b3 V3 Q
48:分析法;
4 W5 m* v' o1 T  r2 O52:导数的概念及应用;
- o9 Q$ H. e# D+ y+ N# [2 ^53:导数的综合应用.
& K5 E' `$ E' v6 e8 r- T: \5 w【分析】(Ⅰ)求得f(x)的导数,由导数的几何意义可得f′
6 L0 ~* Z4 D+ z; V( O
+ M8 p+ W. [- }$ g(1)=0,解方程可得a的值; (Ⅱ)求得f(x)的导数,注意分解因式,讨论a=0,a=,a>,0<a<,a<0,由极小值的定义,即可得到所求a的范围.
& w4 P  z. k- e- @【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex的导数为 f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]ex. 由题意可得曲线y=f(x)在点(1,f1 s% @3 V  T! L! s, M" [/ C

6 ?6 Z" G& h: T0 {(1))处的切线斜率为0, 可得(a﹣2a﹣1+2)e=0,且f  t- X" U. L# o: f" g% Q

; N9 ^; _' W" U, V9 c(1)=3e≠0, 解得a=1; (Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]ex=(x﹣2)(ax﹣1)ex, 若a=0则x<2时,f′(x)>0,f(x)递增;x>2,f′(x)<0,f(x)递减. x=2处f(x)取得极大值,不符题意; 若a>0,且a=,则f′(x)=(x﹣2)2ex≥0,f(x)递增,无极值; 若a>,则<2,f(x)在(,2)递减;在(2,+∞),(﹣∞,)递增, 可得f(x)在x=2处取得极小值; 若0<a<,则>2,f(x)在(2,)递减;在(,+∞),(﹣∞,2)递增, 可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意; 若a<0,则<2,f(x)在(,2)递增;在(2,+∞),(﹣∞,)递减, 可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意. 综上可得,a的范围是(,+∞).  / `9 v, `5 Y# e( T' M0 A
8 @7 v5 u; Q& P  T0 z. [- x
【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和极值,考查分类讨论思想方法,以及运算能力,属于中档题.   19.(14分)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N. (Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围; (Ⅱ)设O为原点, =λ,=μ,求证:+为定值. ! p  W1 K* t& O: W+ W
【考点】KN:直线与抛物线的综合. / O6 f0 S( |1 c# t4 F6 l2 {  s
【专题】
4 x" U& B7 ~8 z- @35:转化思想;4R:转化法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.
9 d5 W5 l2 L# d; g" |【分析】(Ⅰ)将P代入抛物线方程,即可求得p的值,设直线AB的方程,代入椭圆方程,由△>0,即可求得k的取值范围; (Ⅱ)根据向量的共线定理即可求得λ=1﹣yM,μ=1﹣yN,求得直线PA的方程,令x=0,求得M点坐标,同理求得N点坐标,根据韦达定理即可求得; q1 j1 E) ?/ n# U" T( j
【解答】解:(Ⅰ)∵抛物线C:y2=2px经过点 P(1,2),∴4=2p,解得p=2, 设过点(0,1)的直线方程为y=kx+1, 设A(x1,y1),B(x2,y2) 联立方程组可得, +为定值. 消y可得k2x2+(2k﹣4)x+1=0, ∴△=(2k﹣4)2﹣4k2>0,且k≠0解得k<1, 且k≠0,x1+x2=﹣,x1x2=, 又∵PA、PB要与y轴相交,∴直线l不能经过点(1,﹣2),即k≠﹣3, 故直线l的斜率的取值范围(﹣∞,﹣3)∪(﹣3,0)∪(0,1); (Ⅱ)证明:设点M(0,yM),N(0,yN), 则因为=(0,yM﹣1),=λ=(0,﹣1) ,所以yM﹣1=﹣yM﹣1,故λ=1﹣yM,同理μ=1﹣yN,  ) S- t( _' `4 k. f4 `( D1 n
直线PA的方程为y﹣2=(x﹣1)=(x﹣1)=(x﹣1), 令x=0,得yM=因+=,同理可得yN=, 为+=+======2, ∴+=2,∴+为定值.  & B0 f  k/ J! S0 R8 P0 }9 j) i
【点评】本题考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理的应用,考查转化思想,计算能力,属于中档题.   20.(14分)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n},对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…yn),记 M(α,β)=[(x1+y1﹣|x1﹣y1|)+(x2+y2﹣|x2﹣y2|)+…(xn+yn﹣|xn﹣yn|)] (Ⅰ)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值; (Ⅱ)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同 3 J4 ^0 c& V0 w0 R2 S& D# _
时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值; (Ⅲ)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0,写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.  
1 O$ N5 W2 G" I/ `' h% Y; b【考点】1A:集合中元素个数的最值;F
2 j; g  f# y% V9 g5 F9:分析法和综合法;R
$ [' h6 D8 G2 G* n5 P# x8:综合法与分析法(选修). + ^  o2 B' P& i" {$ U: a7 ]9 u
【专题】& r5 ?' U/ m% A
35:转化思想;4G:演绎法;5J:集合. ; F$ n: J4 w1 l! B" y# c: B
【分析】(Ⅰ)直接根据定义计算. (Ⅱ)注意到1的个数的奇偶性,根据定义反证证明. (Ⅲ)根据抽屉原理即可得证.
2 H/ n" |1 @. X9 G! V& J% I【解答】解:(I ) M(α,α)=1+1+0=2,M(α,β)=0+1+0=1. (II)考虑数对(xk,yk)只有四种情况:(0,0)(0,、1)(1,、0)(1,、1),相应的分别为4 \8 q$ e6 x  X) x

4 \' b' N! D1 ~2 n6 G; I/ G0 {% w0、/ n" `$ ]' p. m/ h# g

0 F# c( T# u$ t0 R- V$ B) e9 `0、$ \. W* L  a, D* G" [4 G2 b

% B) q) g  ^( Z; |. N- x$ o" l0 g0、1, 所以B中的每个元素应有奇数个1, 所以B中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素): (1,0,0,0 )、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1), (0,1,1,1)、(1,0,1,1)、(1,1,0,1)、(1,1,1,0), 对于任意两个只有1个1的元素α,β都满足M(α,β)是偶数, 所以四元集合B={(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)}满足 题意, 假设B中元素个数大于等于4,就至少有一对互补元素, 除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α, 则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M(α,β)=1不合题意, 故B中元素个数的最大值为4. (Ⅲ) B={(0,0,0,…0),(1,0,0…,0),(0,1,0,…0),(0,0,1…0)…, (0,0,0,…,1)}, 此时B中有n+1个元素,下证其为最大. 对于任意两个不同的元素α,β,满足M(α,β)=0,则α,β中相同位置上的数字不能同时为1, 假设存在B有多于n+1个元素,由于α=(0,0,0,…,0)与任意元素β都有M(α,β)   p8 u* {+ P( b7 p
=0, 所以除(0,0,0,…,0)外至少有n+1个元素含有1, 根据元素的互异性,至少存在一对α,β满足xi=yi=l,此时M(α,β)≥1不满足题意, 故B中最多有n+1个元素. ( P2 [9 K; r) ^
【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系.综合性较强,难度较大.                                                                    - I, x' `5 _* D5 W

# t0 j: l; ]- S$ u9 N9 i1、一知多识广有本领的人,一定谦虚。——谢觉哉   9 u. Q% N) M0 x- X

: G) |( A( w! c* z0 F2、人若勇敢就是自己最好的朋友。 半解的人,多不谦虚;见  7 Y* R. K3 o3 `1 s0 C9 Y9 S/ ?" L( J

' I# J4 J; H$ {3、尺有所短;寸有所长。物有所不足;智有所不明。; |# A3 n& Y$ t4 J, ?# u. N9 M$ G/ h
——屈原   
8 M0 o, }9 y  j% {/ y4 F! r% p# |+ X  N* M  ^7 M& N
4、功有所不全,力有所不任,才有所不足。
' @: s0 \) q6 U! c' K——宋濂   
3 v( k% h& Y. ^* E9 e; G9 ]3 N9 C4 M
5、“不可能”只存在于蠢人的字典里。   " l/ g$ J( j# M; t; d
3 N/ [2 \" f  f! Q, _9 G
6、游手好闲会使人心智生锈。
6 Z3 a* a3 U$ d* @                                                                   # ?) ~% v5 I' `& w
理科数学试卷
2 h3 n; O/ b2 B; G。                     《2018年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版).电脑版点击下载文档可以下载此文章》6 a/ ^$ c+ ^5 v8 P8 J( Z
7 g; I& R. E( s- I) E" e
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